Phân tích đa thức thành nhân tử: (x^2+2x)^2 - 2x^2-4x-3

Chúng ta sẽ phân tích đa thức \((x^2 + 2x)^2 - 2x^2 - 4x - 3\).

Bước 1: Đầu tiên, ta mở rộng biểu thức \((x^2 + 2x)^2\):

\[
(x^2 + 2x)^2 = x^4 + 4x^3 + 4x^2
\]

Bước 2: Thay vào biểu thức ban đầu:

\[
x^4 + 4x^3 + 4x^2 - 2x^2 - 4x - 3
\]
\[
= x^4 + 4x^3 + (4x^2 - 2x^2) - 4x - 3
\]
\[
= x^4 + 4x^3 + 2x^2 - 4x - 3
\]

Bước 3: Bây giờ chúng ta sẽ tìm cách phân tích đa thức \(x^4 + 4x^3 + 2x^2 - 4x - 3\).

Để làm điều này, ta có thể tìm nghiệm thông qua phương pháp thử nghiệm hoặc sử dụng định lý Horner để xác định những giá trị của \(x\) mà làm cho đa thức bằng 0.

Sau khi thử nghiệm một số giá trị, ta nhận thấy rằng \(x = -1\) là một nghiệm:

\[
(-1)^4 + 4(-1)^3 + 2(-1)^2 - 4(-1) - 3 = 1 - 4 + 2 + 4 - 3 = 0
\]

Bước 4: Sử dụng phép chia đa thức, ta chia \(x^4 + 4x^3 + 2x^2 - 4x - 3\) cho \(x + 1\):

- Chia \(x^4\) cho \(x\) được \(x^3\).
- Nhân \(x^3\) với \(x + 1\) và trừ, ta được:

\[
x^4 + 4x^3 + 2x^2 - 4x - 3 - (x^4 + x^3) = 3x^3 + 2x^2 - 4x - 3
\]

- Tiếp tục với \(3x^3\):

Chia \(3x^3\) cho \(x\) được \(3x^2\), nhân và trừ như trên:

\[
3x^3 + 2x^2 - 4x - 3 - (3x^3 + 3x^2) = -x^2 - 4x - 3
\]

- Chia \(-x^2\) cho \(x\) được \(-x\):

\[
-x^2 - 4x - 3 - (-x^2 - x) = -3x - 3
\]

- Cuối cùng chia \(-3\):

\[
-3x - 3 - (-3(x + 1)) = 0
\]

Kết quả của phép chia là:

\[
x^3 + 3x^2 - x - 3
\]

Bước 5: Phân tích tiếp \(x^3 + 3x^2 - x - 3\). Chúng ta có thể thử nghiệm với các giá trị khác, cuối cùng tìm ra nghiệm là \(x = 1\):

\[
1^3 + 3(1^2) - 1 - 3 = 1 + 3 - 1 - 3 = 0
\]

Tiếp tục chia \(x^3 + 3x^2 - x - 3\) cho \(x - 1\), ta nhận được:

\[
x^2 + 4x + 3
\]

Cuối cùng, ta có:

\[
x^2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3)
\]

Vậy ta có kết quả cuối cùng cho quá trình phân tích:

\[
(x + 1)^2 (x + 3)(x - 1)
\]

Tóm lại:
\[
(x^2 + 2x)^2 - 2x^2 - 4x - 3 = (x + 1)^2 (x + 3)(x - 1)
\]