Để tìm các số tự nhiên \( a \) và \( b \) sao cho:

\[
(2008a + 3b + 1)(2008 + 2008a + b) = 225
\]

Ta bắt đầu bằng cách phân tích số 225 thành các tích của các số tự nhiên:

\[
225 = 1 \times 225
\]
\[
225 = 3 \times 75
\]
\[
225 = 5 \times 45
\]
\[
225 = 9 \times 25
\]
\[
225 = 15 \times 15
\]

Ta có thể thử các cặp số trên để xem cặp nào thỏa mãn phương trình.

1. **Cặp (1, 225)**:
\[
2008a + 3b + 1 = 1 \quad \text{và} \quad 2008 + 2008a + b = 225
\]
Từ phương trình đầu tiên, ta có:
\[
2008a + 3b = 0 \implies a = 0, b = 0
\]
(không thỏa mãn vì \( b \) không là số tự nhiên)

2. **Cặp (3, 75)**:
\[
2008a + 3b + 1 = 3 \quad \text{và} \quad 2008 + 2008a + b = 75
\]
Từ phương trình đầu tiên:
\[
2008a + 3b = 2
\]
Từ phương trình thứ hai:
\[
2008a + b = 75 - 2008 = -1933
\]
(không thỏa mãn)

3. **Cặp (5, 45)**:
\[
2008a + 3b + 1 = 5 \quad \text{và} \quad 2008 + 2008a + b = 45
\]
Từ phương trình đầu tiên:
\[
2008a + 3b = 4
\]
Từ phương trình thứ hai:
\[
2008a + b = 45 - 2008 = -1963
\]
(không thỏa mãn)

4. **Cặp (9, 25)**:
\[
2008a + 3b + 1 = 9 \quad \text{và} \quad 2008 + 2008a + b = 25
\]
Từ phương trình đầu tiên:
\[
2008a + 3b = 8
\]
Từ phương trình thứ hai:
\[
2008a + b = 25 - 2008 = -1983
\]
(không thỏa mãn)

5. **Cặp (15, 15)**:
\[
2008a + 3b + 1 = 15 \quad \text{và} \quad 2008 + 2008a + b = 15
\]
Từ phương trình đầu tiên:
\[
2008a + 3b = 14
\]
Từ phương trình thứ hai:
\[
2008a + b = 15 - 2008 = -1993
\]
(không thỏa mãn)

Sau khi thử các cặp số tự nhiên trên, nếu không tìm được giá trị nào thỏa mãn, có thể kiểm tra lại các bước hoặc mở rộng thêm phương pháp để xử lý bài toán.

Nếu cần biết thông tin chi tiết hơn về từng cặp hoặc một phương pháp khác cho bài toán này, mình có thể giúp thêm!