Để giải bài tập này, chúng ta sẽ thực hiện từng yêu cầu một.

### a) Chứng tỏ C là trung điểm của đoạn thẳng BD.

1. **Gọi các điểm như sau:**
- \( A \) là điểm đầu của đoạn thẳng.
- \( B \) là điểm cuối của đoạn thẳng AB với \( AB = 8 \, \text{cm} \).
- Ta có \( C \) nằm trên đoạn thẳng \( AB \) và \( BC = 5 \, \text{cm} \). Vậy \( AC = AB - BC = 8 \, \text{cm} - 5 \, \text{cm} = 3 \, \text{cm} \).
- \( D \) nằm trên tia đối của tia \( AB \) với \( AD = 2 \, \text{cm} \).

2. **Tính toán vị trí của các điểm:**
- Giả sử điểm \( A \) nằm tại vị trí \( (0, 0) \) và điểm \( B \) tại \( (8, 0) \).
- Đoạn thẳng \( AB \) nằm trên trục hoành. Theo đó, điểm \( C \) sẽ có tọa độ \( (3, 0) \) vì \( AC = 3 \, \text{cm} \).
- Điểm \( D \) sẽ nằm trên trục hoành, ở bên trái điểm \( A \) 2cm, do đó tọa độ của \( D \) sẽ là \( (-2, 0) \).

3. **Tính độ dài đoạn thẳng \( BD \):**
- Tọa độ của điểm \( B \) là \( (8, 0) \) và tọa độ của điểm \( D \) là \( (-2, 0) \).
- Độ dài đoạn thẳng \( BD \) được tính như sau:
\[
BD = |8 - (-2)| = |8 + 2| = 10 \, \text{cm}
\]

4. **Tính đoạn \( BC \):**
- Độ dài đoạn \( BC \):
\[
BC = |8 - 3| = 5 \, \text{cm}
\]

5. **Tính đoạn \( CD \):**
- Đoạn \( CD \) được tính như sau:
\[
CD = |3 - (-2)| = |3 + 2| = 5 \, \text{cm}
\]

6. **Xác định:
- Theo định nghĩa, một điểm là trung điểm của đoạn thẳng khi đoạn thẳng đó được chia đều thành 2 phần bằng nhau. Ở đây, ta thấy rằng \( C \) chia \( BD \) thành 2 đoạn:
- \( BC = 5 \, \text{cm} \) và \( CD = 5 \, \text{cm} \).

Vậy, điểm \( C \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BD \).

### b) Lấy điểm E là trung điểm của đoạn thẳng AD. Trên đoạn thẳng BC, lấy điểm F cho BF = 1cm. Chứng tỏ C là trung điểm của EF.

1. **Tính điểm \( E \):**
- Để tìm điểm \( E \) là trung điểm của đoạn \( AD \):
- Tọa độ của \( A = (0, 0) \) và \( D = (-2, 0) \)
- Tọa độ trung điểm \( E \):
\[
E\left(\frac{0 + (-2)}{2}, 0\right) = (-1, 0)
\]

2. **Tính điểm \( F \):**
- Ta có \( BC = 5 \, \text{cm} \) và \( BF = 1 \, \text{cm} \). Vậy độ dài \( CF = BC - BF = 5 \, \text{cm} - 1 \, \text{cm} = 4 \, \text{cm} \).
- Tọa độ của điểm \( F \):
\[
F\left(8 - 1, 0\right) = (7, 0)
\]

3. **Tính đoạn thẳng \( EF \):**
- Tính độ dài đoạn EF:
- Tọa độ \( E = (-1, 0) \) và \( F = (7, 0) \)
\[
EF = |7 - (-1)| = |7 + 1| = 8 \, \text{cm}
\]

4. **Tính đoạn CF:**
- Tính độ dài giữa \( C \) và \( F \):
\[
CF = |7 - 3| = 4 \, \text{cm}
\]

5. **Tính \( CE \):**
- Tính độ dài giữa \( C \) và \( E \):
\[
CE = |3 - (-1)| = |3 + 1| = 4 \, \text{cm}
\]

6. **Xác định:
- Theo định nghĩa, để chứng minh điểm \( C \) là trung điểm của đoạn \( EF \), ta thấy rằng \( CE = CF = 4 \, \text{cm} \).

Vậy, điểm \( C \) là trung điểm của đoạn thẳng \( EF \).

Chúng ta đã chứng minh thành công các yêu cầu của bài toán.