Để chứng minh rằng \( MN = PQ \) và \( NQ = MP \) trong hình đã cho với điều kiện \( \angle N = \angle M = \angle Q \), ta có thể sử dụng tính chất của hình thang.

1. **Chứng minh \( MN = PQ \)**:
- Vì \( \angle N = \angle M \), \( \triangle MNP \) và \( \triangle PQM \) có hai góc bằng nhau (góc chung \(\angle M\) và hai góc kia đối diện).
- Do đó, chúng là hai tam giác đồng dạng, từ đó suy ra tỷ lệ các cạnh tương ứng là bằng nhau.
- Tương tự cho \( MN \) và \( PQ \) ta có \( MN = PQ \).

2. **Chứng minh \( NQ = MP \)**:
- Sử dụng tính chất tương tự với các tam giác còn lại, ta thấy rằng cùng lý lẽ trên, \( \triangle MNQ \) và \( \triangle PMQ \) cũng có hai góc bằng nhau và tỷ lệ tương ứng.
- Do đó, \( NQ = MP \).

Từ những lập luận trên, chúng ta đã chứng minh được \( MN = PQ \) và \( NQ = MP \).