Để tính giá trị biểu thức \(\left[\left( \frac{3}{5} - \frac{5}{12} \right) \cdot 6 + \frac{1}{3}\right] \cdot 4\), ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính \(\frac{3}{5} - \frac{5}{12}\).

Đầu tiên, tìm mẫu số chung của hai phân số: mẫu số chung của 5 và 12 là 60.

\[
\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 12}{5 \cdot 12} = \frac{36}{60}
\]

\[
\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{25}{60}
\]

Vậy:

\[
\frac{3}{5} - \frac{5}{12} = \frac{36}{60} - \frac{25}{60} = \frac{11}{60}
\]

Bước 2: Tính \(\left(\frac{11}{60} \cdot 6\right)\).

\[
\frac{11}{60} \cdot 6 = \frac{11 \cdot 6}{60} = \frac{66}{60} = \frac{11}{10}
\]

Bước 3: Tính \( \frac{1}{3} \).

Chuyển \(\frac{1}{3}\) về mẫu số 10 để cộng:

\[
\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot \frac{10}{3}}{3 \cdot \frac{10}{3}} = \frac{10}{30}
\]

Bước 4: Cộng \(\frac{11}{10}\) và \(\frac{1}{3}\).

Để cộng hai phân số, ta cần mẫu số chung. Mẫu số chung của 10 và 3 là 30.

\[
\frac{11}{10} = \frac{11 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{33}{30}
\]

\[
\frac{1}{3} = \frac{10}{30}
\]

Vậy:

\[
\frac{33}{30} + \frac{10}{30} = \frac{43}{30}
\]

Bước 5: Tính \(\left(\frac{43}{30}\right) \cdot 4\).

\[
\frac{43}{30} \cdot 4 = \frac{43 \cdot 4}{30} = \frac{172}{30} = \frac{86}{15}
\]

Cuối cùng, giá trị của biểu thức là:

\[
\frac{86}{15}
\]