Cho A = 1-1/2^2 -1/3^2 - .... 1/100^2. Chứng tỏ: A > 1/100

Để chứng minh \( A = 1 - \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} - \ldots - \frac{1}{100^2} > \frac{1}{100} \), chúng ta có thể bắt đầu bằng việc tính giá trị của \( A \):

\[
A = 1 - \sum_{n=2}^{100} \frac{1}{n^2}
\]

Đầu tiên, chúng ta tính tổng sau:

\[
\sum_{n=2}^{100} \frac{1}{n^2}
\]

Giá trị tổng này có thể được ước lượng bằng cách sử dụng một số tính chất của chuỗi. Chúng ta biết rằng tổng các số hạng của một chuỗi hình thức này có thể được ước lượng bằng tích phân.

Vì vậy, ta biết rằng:

\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \approx 1.64493
\]

Nên:

\[
\sum_{n=2}^{100} \frac{1}{n^2} = \sum_{n=1}^{100} \frac{1}{n^2} - 1
\]

Tổng \(\sum_{n=1}^{100} \frac{1}{n^2}\) có thể được ước lượng là xấp xỉ 1.63498 (dựa trên bảng số hoặc máy tính).

Giả sử:

\[
\sum_{n=1}^{100} \frac{1}{n^2} \approx 1.63498 \implies \sum_{n=2}^{100} \frac{1}{n^2} \approx 1.63498 - 1 = 0.63498
\]

Do đó:

\[
A = 1 - \sum_{n=2}^{100} \frac{1}{n^2} \approx 1 - 0.63498 = 0.36502
\]

Bây giờ, ta cần chứng minh rằng \( A > \frac{1}{100} \):

\[
\frac{1}{100} = 0.01
\]

Rõ ràng:

\[
0.36502 > 0.01
\]

Do đó, ta có:

\[
A > \frac{1}{100}
\]

Cuối cùng, chúng ta có thể kết luận:

\[
1 - \sum_{n=2}^{100} \frac{1}{n^2} > \frac{1}{100} \quad \text{hay } A > \frac{1}{100}
\]

**Kết luận**: Điều cần chứng minh đã hoàn thành, \( A > \frac{1}{100} \).