Để giải bài toán, chúng ta có thể thực hiện các bước sau đây:

### 1) Chứng minh:
Chúng ta có hình thang ABCD với đáy nhỏ BC = 4 cm. Do B vẽ đường thẳng song song với CD và cắt AD ở E, chúng ta có:

- Vì BE || CD, theo tính chất của hình thang, ta có:
- \(BC = ED = x\)
- \(BE = CD = y\)

Để tính chu vi tam giác ABE, ta có:

\[
AB + BE + AE = 12
\]

Với BC = 4 cm, ta thay vào đây:

\[
AB + y + AE = 12
\]

Từ đó, ta cần tính AE. Nhưng ta chưa có đủ thông tin về AB và AE, nên có thể mất một số bước tính thêm.

### 2) Tính chu vi hình thang ABCD:
Dựa vào chứng minh vừa thực hiện và điều kiện cắt, ta có:

\[
AB + CD + AD + BC = chu vi ABCD
\]

Với \(BC = 4 cm\), và \(ED = BC\), \(BE = CD\).

Giả sử \(y\) đã tìm được, hoặc biết thêm về AB và AD, chúng ta có thể tính chu vi của hình thang ABCD.

### Kết luận:
Bước tiếp theo sẽ là sử dụng thông tin về chu vi tam giác ABE để tìm ra được các cạnh và cuối cùng là chu vi của hình thang ABCD. Nếu cần, thử nghiệm với các giá trị khác nhau để đáp ứng điều kiện tổng độ dài = 12 cm cho tam giác ABE.

Nếu bạn có số liệu cụ thể cho các cạnh, hãy cung cấp thêm để có thể tính chính xác hơn.