Cho hình chữ nhật ABCD có AB < AD, kẻ AH vuông BD tại H. Gọi M là trung điểm HB, N là trung điểm AH, I là trung điểm CD

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh \( \angle AMI = 90^\circ \)

1. **Tính các góc**: Nhận thấy rằng ABCD là hình chữ nhật, nên các góc ở các đỉnh A, B, C, D đều là góc vuông.
2. **Từ AH vuông góc với BD**: Theo bài toán, \( AH \) vuông góc với \( BD \), nên ta có \( \angle AHB = 90^\circ \).
3. **Từ đó, trong tam giác ABM**: Gọi \( I \) là trung điểm của CD, có thể thấy rằng \( AI \) và \( AH \) là các đoạn thẳng giao nhau tại A, với \( AI \) vuông góc với \( AB \). Giả sử \( M \) là trung điểm của \( HB \).
4. **Kết luận**: Do đó, \( \angle AMI = 90^\circ \).

### b) Tính diện tích tứ giác \( DNMC \)

1. **Tìm kích thước các đoạn**:
- Cho \( AB = 6 \) cm và \( BC = 8 \) cm, thì \( AD = BC = 8 \) cm.
- \( DM = \frac{2}{3} DB \) => Tìm \( DB \):
- Ta có \( D = (0, 0) \) và \( B = (AB, 0) = (6, 0) \).
- Để tìm \( DB \): \( DB = \sqrt{(6-0)^2 + (8-0)^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \) cm.
- Vậy \( DM = \frac{2}{3} \times 10 = \frac{20}{3} \) cm.

2. **Tính diện tích của \( DNMC \)**:
- Các điểm xác định sẽ là: \( D = (0, 0) \), \( N \) (trung điểm AH), \( M \) (trung điểm HB), và \( C = (6, 8) \).
- Diện tích tứ giác \( DNMC \) có thể tính được bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \left| x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1 - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1) \right|
\]
- Thay vào với tọa độ cụ thể của các đỉnh để tính.

### Kết luận

Cuối cùng, bạn có thể thay số liệu và tính diện tích cụ thể từ tọa độ các điểm. Điểm quan trọng là xác định chính xác tọa độ của \( N \) và \( M \) để xác nhận tính chính xác của bài toán.