Giải các hệ phương trình sau (phương pháp đặt ân phụ)

Để giải các hệ phương trình này bằng phương pháp đặt ẩn phụ, chúng ta sẽ theo từng câu một.

### Câu 1:
1)
\[
\begin{cases}
2(x+y) + \sqrt{x+2} = 7 \\
5(x+y) - 2\sqrt{x+2} = 4
\end{cases}
\]

Đặt \( z = x+y \) và \( w = \sqrt{x+2} \). Ta có hệ phương trình mới:
\[
\begin{cases}
2z + w = 7 \\
5z - 2w = 4
\end{cases}
\]

Giải phương trình đầu tiên theo \( w \):
\[
w = 7 - 2z
\]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[
5z - 2(7 - 2z) = 4
\]
\[
5z - 14 + 4z = 4
\]
\[
9z = 18 \Rightarrow z = 2
\]

Thay \( z \) vào phương trình \( w = 7 - 2z \):
\[
w = 7 - 4 = 3
\]

Ta có \( x+y = 2 \) và \( \sqrt{x+2} = 3 \). Từ \( \sqrt{x+2} = 3 \):
\[
x + 2 = 9 \Rightarrow x = 7
\]

Vậy \( y = 2 - x = 2 - 7 = -5 \).

**Nghiệm: \( x = 7, y = -5 \)**.

### Câu 2:
2)
\[
\begin{cases}
\sqrt{x-2}+2(x-y) = 8 \\
2\sqrt{x-2}+5(x-y) = 19
\end{cases}
\]

Đặt \( u = \sqrt{x-2} \) và \( v = x-y \). Ta có hệ phương trình mới:
\[
\begin{cases}
u + 2v = 8 \\
2u + 5v = 19
\end{cases}
\]

Giải phương trình đầu tiên theo \( u \):
\[
u = 8 - 2v
\]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[
2(8 - 2v) + 5v = 19
\]
\[
16 - 4v + 5v = 19
\]
\[
v = 3
\]

Thay \( v \) vào phương trình \( u = 8 - 2v \):
\[
u = 8 - 6 = 2
\]

Ta có \( \sqrt{x-2} = 2 \Rightarrow x - 2 = 4 \Rightarrow x = 6 \) và \( x - y = 3 \Rightarrow 6 - y = 3 \Rightarrow y = 3 \).

**Nghiệm: \( x = 6, y = 3 \)**.

### Câu 3:
3)
\[
\begin{cases}
5(x-y) + 2\sqrt{y+2} = 23 \\
3(x-y) - \sqrt{y+2} = 5
\end{cases}
\]

Đặt \( p = x-y \) và \( q = \sqrt{y+2} \). Ta có hệ phương trình mới:
\[
\begin{cases}
5p + 2q = 23 \\
3p - q = 5
\end{cases}
\]

Giải phương trình thứ hai theo \( q \):
\[
q = 3p - 5
\]

Thay vào phương trình đầu tiên:
\[
5p + 2(3p - 5) = 23
\]
\[
5p + 6p - 10 = 23
\]
\[
11p = 33 \Rightarrow p = 3
\]

Thay \( p \) vào phương trình \( q = 3p - 5 \):
\[
q = 9 - 5 = 4
\]

Ta có \( x-y = 3 \) và \( \sqrt{y+2} = 4 \Rightarrow y + 2 = 16 \Rightarrow y = 14 \). Từ đó, \( x = y + p = 14 + 3 = 17 \).

**Nghiệm: \( x = 17, y = 14 \)**.

Tóm lại, các nghiệm của ba hệ phương trình theo thứ tự là:
1. \( x = 7, y = -5 \)
2. \( x = 6, y = 3 \)
3. \( x = 17, y = 14 \)