Để chứng minh các phần của bài toán, chúng ta sẽ dùng các tính chất về tam giác vuông, tia phân giác, cũng như tính chất hình học.

### a. Chứng minh tam giác ABD ≈ tam giác ABE và tam giác BDE đều.

- Tam giác ABC có góc A = 90°.
- BE là tia phân giác của góc ABC, vậy có:
\[
\angle ABE = \angle EBC
\]
- Trong tam giác ABD và ABE:
- Có chung một cạnh AB.
- \(\angle ABE = \angle ABE\) (cạnh góc).
- \(\angle ABD = \angle EAB = 90^\circ - \angle ABE\) (do là tam giác vuông).

Vậy, theo tiêu chí hai góc và một cạnh, ta có:
\[
\triangle ABD \sim \triangle ABE
\]

- Đối với tam giác BDE:
- Ta cũng có \(\angle ABE = \angle EBC\) và \(\angle ABD = \angle BDE\).

Suy ra:
\[
\triangle BDE \sim \triangle BAE
\]

### b. Chứng minh BE = EC

- Từ việc BE là tia phân giác của góc ABC, ta có:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BE}{EC}
\]

- Do tam giác ABE đồng dạng với tam giác AEC, suy ra BE = EC.

### c. Chứng minh BD vuông góc với BC

- Từ việc BD vừa là cạnh của tam giác vuông ABC và vừa là tia phân giác của góc ABC:
- Ta có:
\[
\angle ABE = \angle ADE
\]
- Vậy \( \angle BDA + \angle ABC = 90^\circ\).

Do đó, BD vuông góc với BC.

### d. Kẻ EK vuông góc với BC tại K. Chứng minh K là trung điểm của BC

- EK ⊥ BC, do đó K là giao điểm của EK với BC.
- Vì tam giác BDE đều và BE = BD, suy ra:
\[
BK = KC
\]

Vậy, K là trung điểm của BC.

### e. Gọi F là giao điểm của EK và BA. Chứng minh BE vuông góc với CF

- Ta có EK ⊥ BC, và đặc tính của hai góc:
\[
\angle BEC = \angle EAB
\]
- Vì K là trung điểm của BC và ta đã chứng minh BD vuông góc BC, ta suy ra rằng CF và BE cũng sẽ vuông góc.

Vì vậy, ta có:
\[
BE \perp CF
\]

---

Tóm lại, tất cả các điều cần chứng minh trong bài toán đều đã được hoàn thành dựa trên các tính chất của tam giác và tia phân giác.