Cho 5 số lập thành 1 cấp số nhân, biết công bội bằng 1/ 4 số hạng đầu tiên, tổng 2 số hạng đầu bằng 8

Gọi 5 số trong cấp số nhân là \( a, ar, ar^2, ar^3, ar^4 \), với \( a \) là số hạng đầu tiên và \( r \) là công bội.

Theo đề bài, ta có 2 điều kiện:

1. Công bội \( r = \frac{1}{4}a \)
2. Tổng hai số hạng đầu \( a + ar = 8 \)

Từ điều kiện thứ hai, ta thay công bội \( r \) vào công thức tổng:

\[
a + ar = a + a \cdot \frac{1}{4}a = 8
\]

Biến đổi phương trình:

\[
a + \frac{1}{4}a^2 = 8
\]

Nhân cả phương trình với 4 để loại bỏ mẫu số:

\[
4a + a^2 = 32
\]

Sắp xếp lại thành phương trình bậc hai:

\[
a^2 + 4a - 32 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm:

\[
a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32)}}{2 \cdot 1}
\]

\[
= \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 128}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{144}}{2}
\]

\[
= \frac{-4 \pm 12}{2}
\]

Có 2 nghiệm:

\[
a_1 = \frac{8}{2} = 4 \quad \text{ và } \quad a_2 = \frac{-16}{2} = -8 \quad (\text{không hợp lý vì } a > 0)
\]

Chọn \( a = 4 \).

Tính công bội \( r \):

\[
r = \frac{1}{4}a = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1
\]

Vì vậy, các số hạng trong cấp số nhân là:

\[
4, 4 \cdot 1, 4 \cdot 1^2, 4 \cdot 1^3, 4 \cdot 1^4
\]

Thì 5 số hạng là:

\[
4, 4, 4, 4, 4
\]

Kiểm tra lại điều kiện:

- Công bội \( r = 1 \) và \( \frac{1}{4} \cdot 4 = 1 \), đúng.
- Tổng 2 số hạng đầu \( 4 + 4 = 8 \), đúng.

Vậy 5 số là \( 4, 4, 4, 4, 4 \).