Để tìm tham số \( m \) sao cho phương trình \( 2\sqrt{x} + m = x + 2m \) có đúng 2 nghiệm, trước tiên ta có thể biến đổi phương trình như sau:

\[
2\sqrt{x} + m = x + 2m
\]
\[
2\sqrt{x} = x + m
\]
\[
2\sqrt{x} - x - m = 0
\]

Đặt \( y = \sqrt{x} \) (với \( y \geq 0 \)), ta có \( x = y^2 \). Thay vào phương trình, ta được:

\[
2y - y^2 - m = 0
\]
hoặc
\[
-y^2 + 2y - m = 0
\]

Phương trình này là một phương trình bậc hai theo \( y \), có dạng:

\[
-y^2 + 2y - m = 0
\]

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt cho \( y \), điều kiện cần là:

1. Định thức của phương trình phải dương:
\[
D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(-1)(-m) > 0
\]
\[
4 - 4m > 0
\]
\[
1 - m > 0 \quad \Rightarrow \quad m < 1
\]

2. Cả hai nghiệm của phương trình \( y \) (sau này tìm ra sẽ là \( \sqrt{x} \)) phải không âm, nghĩa là:

Nghiệm của phương trình là:

\[
y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{-2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4m}}{2(-1)} = \frac{2 \mp \sqrt{4 - 4m}}{2} = 1 \mp \frac{\sqrt{4 - 4m}}{2}
\]

Lưu ý rằng: \( \sqrt{4 - 4m} \) phải thuộc về miền [0, 2]. Cụ thể chỉ ra điều kiện cho nghiệm dương:

- Nghiệm dương đầu tiên:
\[
1 + \frac{\sqrt{4 - 4m}}{2} \geq 0 \quad (\text{luôn đúng với } m < 1)
\]
- Nghiệm dương thứ hai:
\[
1 - \frac{\sqrt{4 - 4m}}{2} \geq 0 \Rightarrow 1 \geq \frac{\sqrt{4 - 4m}}{2}
\]
\[
2 \geq \sqrt{4 - 4m}
\]
\[
4 \geq 4 - 4m \Rightarrow 4m \geq 0 \Rightarrow m \geq 0
\]

Tóm lại, ta có điều kiện cho \( m \):

\[
0 \leq m < 1
\]

Vậy tham số \( m \) cần thỏa mãn:

\[
\boxed{[0, 1)}
\]

Trong khoảng này, phương trình \( 2\sqrt{x} + m = x + 2m \) sẽ có đúng 2 nghiệm.