Để chứng minh rằng \(EF = \frac{BC}{2}\) và \(KMFE\) là hình thang cân trong trường hợp tam giác vuông \(ABC\) tại \(A\), ta sẽ thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Định nghĩa các điểm
- Giả sử \(AB\) và \(AC\) là các cạnh của tam giác vuông \(ABC\), trong đó \(AB < AC\).
- Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\).
- Kẻ đường cao \(AK\) từ \(A\) đến \(BC\) (do \(K\) thuộc \(BC\)).
- Gọi \(E\) là giao điểm của đường thẳng \(ME\) vuông góc với \(AB\).
- Gọi \(F\) là giao điểm của đường thẳng \(MF\) vuông góc với \(AC\).

### Bước 2: Chứng minh \(EF = \frac{BC}{2}\)

1. **Tam giác vuông**: Trong tam giác vuông \(ABC\), theo định lý Pytago, có:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]

2. **Tính độ dài \(EF\)**: Trong hình vẽ (hoặc mô hình), \(M\) là trung điểm của \(BC\), do đó ta có:
\[
BM = MC = \frac{BC}{2}
\]

3. **Đường cao**: Vì hai đoạn \(ME\) và \(MF\) đều là đường cao, \(EF\) được tạo thành từ hai cạnh vuông góc. Theo định lý về tỉ lệ, ta có:
\[
EF \parallel BC
\]
và là trung bình cộng của các đoạn thẳng \(MF\) và \(ME\).

Do đó:
\[
EF = \frac{BC}{2}
\]

### Bước 3: Chứng minh \(KMFE\) là hình thang cân

1. **Tính chất hình thang**: Trong tam giác vuông \(ABC\), góc \(A\) vuông nên \(AK\) vuông góc với \(BC\).

2. **Điểm \(E\) và \(F\)**: Vì \(ME\) vuông góc với \(AB\) và \(MF\) vuông góc với \(AC\), nên \(EF\) là đoạn thẳng song song với \(BC\) và tại \(M\) là trung điểm. Điều này chứng minh rằng:

\[
KM \parallel EF
\]

3. **Góc đối diện**: Ta thấy do tính đối xứng của tam giác vuông tại \(A\):
\(\angle KME = \angle KMF\) và \(\angle KMF = \angle KME\)

Do đó, \(KMFE\) là hình thang cân.

### Kết luận
Ta đã chứng minh được rằng:
1. \(EF = \frac{BC}{2}\)
2. \(KMFE\) là hình thang cân.

Hai yếu tố này tương ứng với định nghĩa của hình thang và tính chất của đoạn thẳng nào đó trong tam giác vuông này.