Cho hình bình hành ABCD, trên cạnh BC lấy điểm M sao cho véc tơ CM = 2 véc tơ MB, trên đoạn DM lấy điểm N sao cho véc tơ DN = -1/2 véc tơ MN. Kéo dài AN cắt cạnh DC tại N. Đặt véc tơ DK = x véc tơ KC. Tìm x

Giải từng bài toán bạn đã đưa ra như sau:

### Bài 1
Cho hình bình hành \( ABCD \). Ta có:

- Điểm \( M \) trên cạnh \( BC \) sao cho:
\[
\vec{CM} = 2\vec{MB}.
\]
Do đó, ta có thể thể hiện \( M \) theo \( C \) và \( B \):
\[
\vec{M} = \frac{2\vec{B} + \vec{C}}{3}.
\]

- Tại đoạn \( DM \), điểm \( N \) được xác định sao cho:
\[
\vec{DN} = -\frac{1}{2} \vec{MN}.
\]
Tính \( \vec{MN} \):
\[
\vec{MN} = \vec{N} - \vec{M} = \vec{N} - \frac{2\vec{B} + \vec{C}}{3}.
\]
Thay vào điều kiện \( DN = -\frac{1}{2}MN \):
\[
\vec{N} - \vec{D} = -\frac{1}{2}(\vec{N} - \frac{2\vec{B} + \vec{C}}{3}),
\]
có thể tìm được vị trí của \( N \).

- Kéo dài \( AN \) cắt cạnh \( DC \) tại \( N \), ta cần tìm tỉ lệ \( \vec{DK} = x\vec{KC} \).

Giải phương trình này có thể cần sử dụng các giả thiết về trọng tâm hoặc các nối tiếp tỉ lệ trong tam giác.

### Bài 2
Cho tam giác \( ABC \) và điểm \( M \) thoả mãn:
\[
\vec{MA} - 2\vec{MB} + 3\vec{MC} = 0.
\]
Hoá thành:
\[
\vec{MA} = 2\vec{MB} - 3\vec{MC},
\]
Thay \( \vec{MA} = \vec{A} - \vec{M} \), \( \vec{MB} = \vec{B} - \vec{M} \), \( \vec{MC} = \vec{C} - \vec{M} \) vào và giải ra để tìm ra vị trí của \( M \).

### Bài 3
Cho tam giác \( ABC \) tìm điểm \( M \) thoả mãn:
\[
\frac{4\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC}}{2\vec{MA} - \vec{MB} - \vec{MC}}.
\]
Chia cả hai vế cho \( \lambda \) và sử dụng đạo hàm hoặc liên hệ giữa các véc tơ \( MA, MB, MC \) để thiết lập điều kiện.

### Bài 4
Cho lục giác \( ABCDEF \) và \( M, N, P, Q, R, S \) là trung điểm các cạnh. Để chứng minh hai tam giác \( MPR \) và \( NQS \) có cùng trọng tâm, ta sử dụng tính chất của trọng tâm. Trọng tâm \( G \) của tam giác được xác định là trung điểm giữa ba đỉnh.

- Tìm \( G_{MPR} = \frac{M + P + R}{3}\) và \( G_{NQS} = \frac{N + Q + S}{3} \).

Ta cần chứng minh \( G_{MPR} = G_{NQS} \) bằng cách chứng minh rằng biểu thức cho \( G \) cho các điểm này là bằng nhau.

Hy vọng những hướng dẫn trên sẽ giúp bạn hoàn thành các bài toán này. Nếu có vấn đề gì cần giải đáp thêm, đừng ngần ngại hỏi nhé!