Giải bất phương trình sau :

Để giải bất phương trình \( \frac{3x + 1}{x^2 + 1} \leq 0 \), ta sẽ tiến hành các bước sau:

1. **Tìm miền xác định**:
- Mẫu \( x^2 + 1 \) luôn dương với mọi giá trị của \( x \) (vì \( x^2 \geq 0 \)), nên không có điểm nào làm cho biểu thức này không xác định.
- Miền xác định của biểu thức là tất cả các số thực \( x \).

2. **Tìm nghiệm bất phương trình**:
- Để bất phương trình \( \frac{3x + 1}{x^2 + 1} \leq 0 \) thỏa mãn, tử số \( 3x + 1 \) phải không dương hoặc phải bằng 0.

Giải \( 3x + 1 = 0 \):

\[
3x = -1 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{1}{3}
\]

Tử số \( 3x + 1 \) sẽ âm khi \( 3x + 1 < 0 \):

\[
3x < -1 \quad \Rightarrow \quad x < -\frac{1}{3}
\]

3. **Xác định khoảng nghiệm**:
- Từ trên, ta có hai khoảng nghiệm thỏa mãn:

\[
(-\infty, -\frac{1}{3}] \quad \text{(tại điểm } x = -\frac{1}{3} \text{ thì biểu thức bằng } 0)
\]

4. **Kết luận**:
Vậy nghiệm của bất phương trình là:

\[
x \in \left(-\infty, -\frac{1}{3}\right]
\]