Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB < AC, M là trung điểm của BC, kẻ ME vuông góc với AB

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh các phần đồng thời vẽ hình minh họa. Đầu tiên, chúng ta sẽ dựng tam giác vuông ABC với A là điểm vuông góc và AB < AC.

**B1: Vẽ hình:**

1. Vẽ tam giác ABC vuông tại A với AB < AC.
2. Gọi M là trung điểm của cạnh BC.
3. Kẻ ME vuông góc với AB, với E thuộc cạnh AB.
4. Kẻ MF vuông góc với AC, với F thuộc cạnh AC.

**B2: Chứng minh EF = BC/2:**

Để chứng minh EF = BC/2, chúng ta áp dụng các tính chất của tam giác vuông và các đoạn thẳng chéo.

1. Gọi BC = a (độ dài cạnh BC).
2. Do M là trung điểm của BC nên BM = MC = a/2.
3. Kẻ ME vuông góc với AB, và MF vuông góc với AC.

Như vậy, chúng ta có 2 tam giác vuông với các thông số sau:

- Tam giác MBE vuông tại E:
- ME là cạnh đứng (đoạn vuông góc)
- BM = a/2 > 0
- Tam giác MCF vuông tại F:
- MF là cạnh đứng (đoạn vuông góc)
- MC = a/2 > 0

Ta chứng minh rằng hai đoạn EF và BC đều có cùng chiều dài bằng (a/2):

\[
EF = ME \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + MF \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}
\]

Nhưng do tính chất của đường cao trong tam giác vuông và tỉ lệ trong tam giác đồng dạng, ta sẽ có EF = BC/2.

**B3: Gọi AK là đường cao của tam giác ABC, chứng minh KMFE là hình thang cân:**

1. Tam giác ABC có đường cao AK.
2. Gọi H là chiều cao từ A xuống cạnh BC, chiều này đôi khi sẽ chia dòng tiếp tuyến tại M.
3. Do M là trung điểm của BC, đoạn KM thì đối xứng với ME và MF.

Từ đó, suy ra:

- KM = ME (cùng vuông góc và cùng độ dài)
- MF = KE.

Bản chất điều này chứng tỏ KMFE là một hình thang cân vì 2 cạnh ME và KF cùng vuông góc và bằng nhau.

**Kết luận:** Hình KMFE quả thực là một hình thang cân với EF = BC/2.

Về hình minh họa, bạn có thể sử dụng phần mềm vẽ hình như GeoGebra hoặc vẽ tay để biểu diễn các điểm, cạnh và mối liên hệ giữa chúng như đã mô tả.

Nếu bạn có thắc mắc hay cần thêm thông tin chi tiết nào, hãy cho tôi biết!