Cho hình bình hành ABCD, một đường thẳng đi qua giao điểm I của AC và BD cắt AB, CD tại M và N. Chứng minh IN = IN

Để chứng minh rằng \( IM = IN \) trong hình bình hành \( ABCD \), với \( I \) là giao điểm của hai đường chéo \( AC \) và \( BD \), ta sẽ sử dụng tính chất đối xứng của hình bình hành.

1. **Tính chất của hình bình hành**: Trong hình bình hành, các đường chéo \( AC \) và \( BD \) cắt nhau tại trung điểm của cả hai. Do đó, \( I \) là trung điểm của cả \( AC \) và \( BD \). Điều đó có nghĩa là:

\[
AI = IC \quad \text{và} \quad BI = ID
\]

2. **Đường thẳng cắt**: Giả sử đường thẳng \( MN \) đi qua điểm \( I \) và cắt \( AB \) tại \( M \) và cắt \( CD \) tại \( N \).

3. **Độ dài đoạn thẳng**: Ta cần chứng minh rằng \( IM = IN \). Do tính chất đối xứng của hình bình hành, hình chiếu của \( I \) lên hai cạnh \( AB \) và \( CD \) có độ dài bằng nhau.

4. **Khẳng định về tam giác**: Vì \( I \) là giao điểm của hai đường chéo, nó chia hình bình hành thành 4 tam giác đồng dạng. Cụ thể, tam giác \( AIB \) đồng dạng với tam giác \( CID \) và tam giác \( BIC \) đồng dạng với tam giác \( AID \).

5. **Sử dụng tính chất đồng dạng**: Mỗi tam giác có đến bốn điểm \( M, N, I \), bởi vì \( IM \) và \( IN \) là chiều cao từ \( I \) đến hai đường thẳng \( AB \) và \( CD \). Từ bốn tam giác này, ta có được:
\[
\frac{IM}{IN} = \frac{AI}{CI} = 1 \implies IM = IN
\]

6. **Kết luận**: Vậy ta đã chứng minh được rằng \( IM = IN \).

Hơn nữa, việc xác định \( IM = IN \) cho thấy rằng \( I \) là những điểm đối xứng của \( M \) và \( N \) đối với trung điểm của \( AC \) và \( BD \) trong hình bình hành \( ABCD \). Do đó, ta có thể kết luận rằng:
\[
IN = IM
\]

Điều này đã được chứng minh hoàn toàn.