Cho hình bình hành ABCD, trên AB; CD lần lượt lấy các điểm M; N sao cho AM=CN. Chứng minh AN//CM

Để chứng minh AN // CM trong hình bình hành ABCD với điểm M trên AB và điểm N trên CD sao cho AM = CN, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình bình hành.

1. **Tính chất của hình bình hành**: Trong hình bình hành, các cạnh đối diện song song và bằng nhau. Do đó, AB // CD và AD // BC.

2. **Gọi điểm giữa**: Gọi A là điểm đầu của đoạn thẳng AM và C là điểm đầu của đoạn thẳng CN. Vì AM = CN, chúng ta có thể xem điểm M trên AB và điểm N trên CD như những đoạn phân chia đều từ A đến B, từ C đến D.

3. **Chọn hệ trục tọa độ**: Đặt:
- A(0, 0)
- B(a, 0)
- D(0, b)
- C(a, b)

Khi đó, các điểm M và N có thể được tọa độ hóa như sau:
- M: (x₁, 0) với 0 < x₁ < a
- N: (x₂, b) với 0 < x₂ < a

4. **Công thức đoạn thẳng**: Biểu thức vectơ của AN và CM sẽ được tính như sau:
- Vectơ AN = N - A = (x₂, b)
- Vectơ CM = M - C = (x₁ - a, 0 - b) = (x₁ - a, -b)

5. **Tính tỷ lệ giữa các vectơ**: Hai vectơ AN và CM sẽ song song nếu tỷ lệ giữa các thành phần tương ứng của chúng là bằng nhau. Tức là:

\[ \frac{b}{x₂} = \frac{-b}{x₁ - a} \]

Khi Rút gọn \( b \) (khác không vì đây là chiều cao), ta có:

\[ \frac{1}{x₂} = \frac{-1}{x₁ - a} \]

Hay có thể viết lại thành:

\[ x₁ - a = -x₂ \]

Điều này dẫn đến:

\[ x₁ + x₂ = a \]

6. **Kết luận**: Mặt khác, vì chúng ta đã cho biết AM = CN, điều này có nghĩa là AN // CM, do đó AN và CM là các đoạn thẳng song song.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được AN // CM trong hình bình hành ABCD với điều kiện AM = CN.