Cho tam giác ABC, gọi D là trung điểm của BC. Lấy điểm E đối xứng với A qua D

Để chứng minh \( AB = CE \) trong tam giác \( ABC \), với \( D \) là trung điểm của đoạn \( BC \) và \( E \) là điểm đối xứng với \( A \) qua \( D \), ta thực hiện theo các bước sau:

1. **Xác định vị trí các điểm:** Gọi tọa độ của các điểm trong mặt phẳng như sau:
- \( B(x_B, y_B) \)
- \( C(x_C, y_C) \)
- \( A(x_A, y_A) \)

2. **Tọa độ của \( D \):** Vì \( D \) là trung điểm của \( BC \), nên tọa độ của \( D \) là:
\[
D\left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2} \right)
\]

3. **Tọa độ của \( E \):** Biết rằng \( E \) là điểm đối xứng với \( A \) qua \( D \), nên tọa độ của \( E \) được tính như sau:
\[
E = D + (D - A) = 2D - A
\]
Từ đó, tọa độ của \( E \) là:
\[
E\left( 2\frac{x_B + x_C}{2} - x_A, 2\frac{y_B + y_C}{2} - y_A \right) = (x_B + x_C - x_A, y_B + y_C - y_A)
\]

4. **Tính độ dài \( AB \) và \( CE \):**
- Độ dài \( AB \) là:
\[
AB = \sqrt{(x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2}
\]
- Độ dài \( CE \) là:
\[
CE = \sqrt{(x_E - x_C)^2 + (y_E - y_C)^2}
\]
Thay tọa độ của \( E \):
\[
CE = \sqrt{((x_B + x_C - x_A) - x_C)^2 + ((y_B + y_C - y_A) - y_C)^2}
\]
Đơn giản hơn:
\[
CE = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = AB
\]

5. **Kết luận:** Từ các phép tính trên, ta có:
\[
AB = CE
\]
Như vậy, ta đã chứng minh được rằng \( AB = CE \).