Cho tam giác ABC, gọi D là trung điểm của BC, lấy điểm E đối xứng với A qua D

Để chứng minh rằng \( AB = CE \) trong tam giác \( ABC \), với \( D \) là trung điểm của \( BC \) và \( E \) là điểm đối xứng của \( A \) qua \( D \), chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học cơ bản.

1. **Xác định Tọa độ các điểm**:
- Giả sử điểm \( B \) có tọa độ \( (x_1, y_1) \) và điểm \( C \) có tọa độ \( (x_2, y_2) \).
- Tọa độ trung điểm \( D \) của \( BC \) được tính bằng công thức:
\[
D = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)
\]
- Giả sử điểm \( A \) có tọa độ \( (x_A, y_A) \).

2. **Tọa độ điểm E**:
- Điểm \( E \) là điểm đối xứng của \( A \) qua \( D \). Do đó, ta có:
\[
E = (2 \cdot x_D - x_A, 2 \cdot y_D - y_A)
\]
với \( x_D \) và \( y_D \) là tọa độ của \( D \).
- Tính toán tọa độ của \( E \):
\[
E = \left( 2 \cdot \frac{x_1 + x_2}{2} - x_A, 2 \cdot \frac{y_1 + y_2}{2} - y_A \right) = \left( x_1 + x_2 - x_A, y_1 + y_2 - y_A \right)
\]

3. **Tính độ dài \( AB \) và \( CE \)**:
- Độ dài \( AB \) được tính như sau:
\[
AB = \sqrt{(x_A - x_1)^2 + (y_A - y_1)^2}
\]
- Độ dài \( CE \) được tính như sau:
\[
CE = \sqrt{(x_E - x_2)^2 + (y_E - y_2)^2} = \sqrt{((x_1 + x_2 - x_A) - x_2)^2 + ((y_1 + y_2 - y_A) - y_2)^2}
\]
\[
= \sqrt{(x_1 - x_A)^2 + (y_1 - y_A)^2}
\]

4. **Kết luận**:
- Từ các biểu thức trên, ta thấy rằng:
\[
CE = AB
\]
- Do đó, chúng ta đã chứng minh rằng \( AB = CE \).

Vậy ta có \( AB = CE \).