Để giải bài toán này, ta sẽ đi từng ý một:

### a. Chứng minh rằng \( AD = AE \)

Do tam giác \( ABC \) là tam giác cân tại \( A \), nên \( AB = AC \).

- Gọi \( M \) là trung điểm của cạnh \( BC \). Do đó, \( AM \) là đường trung tuyến và cũng là đường cao từ \( A \) xuống \( BC \) (vì tam giác là cân).
- Vì \( I \) thuộc đường cao \( AH \), nên \( AI \perp BC \).

Để chứng minh \( AD = AE \):

- Ta có hai tam giác \( AID \) và \( AIE \).
- \( AI \) là chung, góc \( AID \) và góc \( AIE \) đều là 90 độ (do \( AD \) và \( AE \) là các cạnh vuông góc với \( AC \) và \( AB \)).

Từ đó, ta có:
\[
AD = AE \quad (\text{theo định lý về tam giác vuông})
\]

### b. Xác định dạng của tứ giác \( BDEC \)

Tứ giác \( BDEC \) được tạo thành từ 4 điểm là \( B \), \( D \), \( E \), \( C \):

- \( D \) là giao điểm của \( BI \) với \( AC \)
- \( E \) là giao điểm của \( CI \) với \( AB \)

Do \( AB = AC \) (vì tam giác cân), và \( AD = AE \) (theo chứng minh ở ý a), ta có:
- Góc \( BAE \) bằng góc \( DAC \) (cùng là góc tại \( A \)).
- Cả hai tam giác \( ABD \) và \( AEC \) đều là tam giác cân tại \( A \).

Vậy tứ giác \( BDEC \) là tứ giác đối diện (due to symmetry) và có thể coi là tứ giác cân, hoặc tứ giác hình bình hành trong một số trường hợp.

### c. Xác định vị trí của điểm \( I \) sao cho \( BE = ED = DC \)

Để có \( BE = ED = DC \), điều này có thể xảy ra khi \( I \) nằm trên đường trung bình của \( BC \):

1. Gọi \( D \) là điểm trên \( AC \) cách đều \( A \) và \( C \).
2. Tương tự với \( E \) trên \( AB \).

Khi \( AI \) chính giữa, \( BE = ED \) và \( ED = DC \) sẽ nằm trên đường trung bình của \( BC \).

Nếu \( I \) là hình chiếu vuông góc từ \( A \) đến \( BC \) mà ở giữa, thì \( BE = ED = DC \) là đúng.

***Điều kiện:*** Điểm \( I \) cần nằm trên đường cao hướng đến midpoint của \( BC \) để đảm bảo rằng các đoạn thẳng \( BE \), \( ED \), và \( DC \) là bằng nhau.

Như vậy, ta đã hoàn thành các yêu cầu trong bài toán.