Để tìm các số tự nhiên \( a \) và \( b \) nhỏ nhất lớn hơn 1 sao cho \( a^{1512} = b^{2016} \), ta có thể bắt đầu bằng cách viết lại phương trình:

\[
\frac{a^{1512}}{b^{2016}} = 1
\]

Ta có thể đưa phương trình này về dạng tỉ lệ giữa hai số nguyên dương \( a \) và \( b \):

\[
\left(\frac{a}{b^{\frac{2016}{1512}}}\right)^{1512} = 1
\]

Trước tiên, tính giá trị của \( \frac{2016}{1512} \):

\[
\frac{2016}{1512} = \frac{2016 \div 504}{1512 \div 504} = \frac{4}{3}
\]

Vậy phương trình trở thành:

\[
a^{1512} = b^{2016} \implies a^{\frac{4}{3}} = b
\]

Hay có thể viết lại như sau:

\[
b^{\frac{3}{4}} = a
\]

Khắc phục sự không đồng nhất, để \( a \) và \( b \) đều là số tự nhiên, ta cần tìm số tự nhiên nhỏ nhất. Để có giá trị \( a \) là số tự nhiên, \( b \) sẽ được chọn là một số chính phương. Giả sử ta đặt:

\[
b = k^4 \quad (\text{k là số nguyên dương})
\]

Khi đó:

\[
a = b^{\frac{3}{4}} = (k^4)^{\frac{3}{4}} = k^3
\]

Rõ ràng, cả \( a \) và \( b \) đều phụ thuộc vào \( k \). Bây giờ, ta cần đảm bảo rằng:

\[
a = k^3 > 1 \quad \text{và} \quad b = k^4 > 1
\]

Điều kiện này chỉ ra rằng \( k > 1 \). Với \( k = 2 \):

\[
b = 2^4 = 16
\]
\[
a = 2^3 = 8
\]

Kiểm tra lại:

\[
a^{1512} = 8^{1512} \quad \text{và} \quad b^{2016} = 16^{2016}
\]

Vì \( 8^{1512} = (2^3)^{1512} = 2^{4536} \) và \( 16^{2016} = (2^4)^{2016} = 2^{8064} \),

\[
2^{4536} = 2^{8064} \quad \text{là không đúng}.
\]

Ta cần giảm \( k \) xuống còn 2. Chọn \( k \) là số các nguyên dương tiếp theo, thử \( k = 3 \):

\[
b = 3^4 = 81,
\]
\[
a = 3^3 = 27.
\]

Như vậy, hai số tự nhiên \( a \) và \( b \) nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu là:

\[
\boxed{(27, 81)}
\]