Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số \( y = \frac{2x^2 - 2x + 9}{x^2 + 2x + 5} \), ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Xác định miền xác định**: Kiểm tra mẫu \( x^2 + 2x + 5 \) có bao giờ bằng 0 hay không. Hàm số xác định khi mẫu khác 0. Ta có:
\[
x^2 + 2x + 5 = 0
\]
Tính delta:
\[
\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16
\]
Vì delta âm, phương trình không có nghiệm thực, do đó hàm xác định với mọi \( x \).

2. **Tính đạo hàm**: Ta cần tính đạo hàm \( y' \) để tìm các điểm cực trị:
\[
y = \frac{u}{v} \quad \text{với} \quad u = 2x^2 - 2x + 9, \quad v = x^2 + 2x + 5
\]
Áp dụng quy tắc đạo hàm thương:
\[
y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
\]
Trong đó:
\[
u' = 4x - 2, \quad v' = 2x + 2
\]
Tính \( y' \) và giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm điểm cực trị.

3. **Phân tích các giá trị của hàm**: Một khi tìm được điểm cực trị, ta sẽ tính giá trị của hàm tại những điểm này và ở biên (khi \( x \to \infty \) và \( x \to -\infty \)) để xác định GTLN và GTNN.

4. **Đánh giá giới hạn**: Tính giới hạn:
\[
\lim_{x \to \infty} y = \lim_{x \to -\infty} y = ?
\]
Sử dụng quy tắc L'Hôpital hoặc considérer các hạn chế.

Sau khi thực hiện các bước trên, bạn sẽ xác định được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm đã cho.