Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = 2x^2 + y^2 + 2xy - 4y + 2032 \), chúng ta có thể sử dụng phương pháp tính toán đạo hàm hoặc nhận biết rằng biểu thức có thể được viết dưới dạng bình phương.

### Bước 1: Sắp xếp lại biểu thức
Ta có thể viết lại biểu thức như sau:

\[
A = 2x^2 + 2xy + y^2 - 4y + 2032
\]

### Bước 2: Nhóm các hạng tử
Nhóm các hạng tử liên quan đến \(y\):

\[
A = 2x^2 + (y^2 + 2xy - 4y) + 2032
\]

### Bước 3: Đưa biểu thức trong ngoặc thành bình phương
Ta có thể viết \( y^2 + 2xy - 4y \) theo dạng bình phương bằng cách hoàn thiện bình phương:

\[
y^2 + 2xy - 4y = (y + x - 2)^2 - (x - 2)^2
\]

Như vậy, ta có:

\[
A = 2x^2 + (y + x - 2)^2 - (x - 2)^2 + 2032
\]

### Bước 4: Tìm giá trị nhỏ nhất
Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( A \), ta cần tính toán các hạng tử.

\(- (x - 2)^2\) sẽ đạt giá trị lớn nhất khi \( x = 2 \).

Tại \( x = 2 \), ta có:

\[
A = 2(2^2) + (y + 2 - 2)^2 + 2032 = 8 + y^2 + 2032
\]

Bây giờ, để \( A \) đạt giá trị nhỏ nhất, \( y^2 \) sẽ đạt giá trị nhỏ nhất khi \( y = 0 \).

### Bước 5: Tính giá trị nhỏ nhất
Thay \( y = 0 \):

\[
A = 8 + 0 + 2032 = 2040
\]

### Kết luận
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \( \boxed{2040} \).