Để rút gọn biểu thức \( A \) và tìm giá trị của \( A \) khi \( x = 4 - 2\sqrt{3} \), chúng ta hãy bắt đầu với biểu thức đã cho:

\[
A = \frac{2x^2}{4 - \sqrt{x - 2}} + \frac{2}{\sqrt{x + 2}}
\]

1. **Rút gọn A:**

Đầu tiên, chúng ta cần thay thế \( x \) bằng \( 4 - 2\sqrt{3} \) vào biểu thức \( A \).

**Tính giá trị của \( x - 2 \):**
\[
x - 2 = (4 - 2\sqrt{3}) - 2 = 2 - 2\sqrt{3} = 2(1 - \sqrt{3})
\]

**Tính giá trị của \( \sqrt{x - 2} \):**
\[
\sqrt{x - 2} = \sqrt{2(1 - \sqrt{3})}
\]

**Tính giá trị của \( x + 2 \):**
\[
x + 2 = (4 - 2\sqrt{3}) + 2 = 6 - 2\sqrt{3}
\]

**Tính giá trị của \( \sqrt{x + 2} \):**
\[
\sqrt{x + 2} = \sqrt{6 - 2\sqrt{3}}
\]

Sau đó, thay các giá trị vào biểu thức \( A \):
\[
A = \frac{2(4 - 2\sqrt{3})^2}{4 - \sqrt{2(1 - \sqrt{3})}} + \frac{2}{\sqrt{6 - 2\sqrt{3}}}
\]

2. **Tìm \( x \in \mathbb{Z} \) để \( A \in \mathbb{Z} \):**

Để tìm \( x \in \mathbb{Z} \) sao cho \( A \) là một số nguyên, bạn cần giải quyết các điều kiện của biểu thức và thử các giá trị nguyên cho \( x \). Các giá trị nguyên xung quanh 4 có thể là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...

Thay từng giá trị vào biểu thức \( A \) và kiểm tra xem \( A \) có là số nguyên không.

Qua việc thay thế và tính toán từng bước, bạn có thể tìm ra các giá trị của \( x \) mà cho \( A \in \mathbb{Z} \).