Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( A \), \( B \), và \( C \), ta cần xem xét từng biểu thức một cách cẩn thận.

### a) \( A = \sqrt{x + 42} \)

Để căn bậc 2 có nghĩa, cần có:
\[
x + 42 \geq 0 \Rightarrow x \geq -42
\]
Giá trị nhỏ nhất của \( A \) khi \( x \) đạt giá trị nhỏ nhất là:
\[
A = \sqrt{-42 + 42} = \sqrt{0} = 0
\]
Vậy \( A \) đạt giá trị nhỏ nhất là \( 0 \).

### b) \( B = -12 + \sqrt{x + 3} \)

Để căn bậc 2 có nghĩa, cần có:
\[
x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3
\]
Giá trị nhỏ nhất của \( B \) xảy ra khi \( x \) đạt giá trị nhỏ nhất:
\[
B = -12 + \sqrt{-3 + 3} = -12 + \sqrt{0} = -12
\]
Vậy \( B \) đạt giá trị nhỏ nhất là \( -12 \).

### c) \( C = |x| - 8 \)

Để giá trị của \( C \) nhỏ nhất, ta phải xem xét giá trị nhỏ nhất của \( |x| \):
\[
|x| \geq 0
\]
Với điều này, giá trị nhỏ nhất của \( C \) xảy ra tại \( |x| = 0 \):
\[
C = 0 - 8 = -8
\]
Vậy \( C \) đạt giá trị nhỏ nhất là \( -8 \).

### Tổng hợp

Giá trị nhỏ nhất của \( A, B, C \) là:
- \( A \) nhỏ nhất là \( 0 \)
- \( B \) nhỏ nhất là \( -12 \)
- \( C \) nhỏ nhất là \( -8 \)

### Kết luận

Giá trị nhỏ nhất:
- \( A_{\text{min}} = 0 \)
- \( B_{\text{min}} = -12 \)
- \( C_{\text{min}} = -8 \)

Trong đó giá trị nhỏ nhất trong ba giá trị trên là:
\[
\min(A, B, C) = -12
\]