Để giải các phép tính trong bài tập này, ta sẽ thực hiện từng câu một.

### a)
\[
\left|\frac{1}{3}\right| - \left(-\frac{6}{7}\right)^0 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 : 2
\]
- \(\left|\frac{1}{3}\right| = \frac{1}{3}\)
- \(\left(-\frac{6}{7}\right)^0 = 1\)
- \(\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\)
- Phép chia: \(\frac{1}{4} : 2 = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}\)

Vậy:
\[
\frac{1}{3} - 1 + \frac{1}{8}
\]

Chuyển về mẫu số chung (24):
\[
\frac{8}{24} - \frac{24}{24} + \frac{3}{24} = \frac{-13}{24}
\]

### b)
\[
\frac{20^5 \cdot 5^{10}}{100^5}
\]
- Nhận thấy rằng \(100 = 10^2\), nên \(100^5 = (10^2)^5 = 10^{10}\).
- Với \(20 = 2 \times 10\), ta có:
\[
20^5 = (2 \times 10)^5 = 2^5 \cdot 10^5
\]

Thay vào:
\[
\frac{2^5 \cdot 10^5 \cdot 5^{10}}{10^{10}} = 2^5 \cdot 5^{10} \cdot 10^{-5} = 2^5 \cdot \frac{5^{10}}{10^5}
\]

### c)
\[
\left(\frac{3}{4} - \frac{4}{5}\right)^2 - \left(-\frac{1}{2}\right)^3
\]
- Tính \(\frac{3}{4} - \frac{4}{5}\) với mẫu số chung (20):
\[
\frac{15}{20} - \frac{16}{20} = -\frac{1}{20}
\]
- Bình phương: \(\left(-\frac{1}{20}\right)^2 = \frac{1}{400}\)
- Tính \(\left(-\frac{1}{2}\right)^3 = -\frac{1}{8}\)

Vậy:
\[
\frac{1}{400} + \frac{1}{8}
\]

Chuyển \(\frac{1}{8}\) về mẫu số chung 400:
\[
\frac{1}{8} = \frac{50}{400}
\]
Vậy:
\[
\frac{1}{400} + \frac{50}{400} = \frac{51}{400}
\]

### d)
\[
\frac{2^7 \cdot 9^3}{6^5 \cdot 82}
\]
- Nhận thấy rằng \(6^5 = (2 \cdot 3)^5 = 2^5 \cdot 3^5\).
- Cần tính:
\[
\frac{2^7 \cdot 9^3}{2^5 \cdot 3^5} = \frac{2^{7-5} \cdot 9^3}{3^5} = \frac{2^2 \cdot 9^3}{3^5}
\]

### e)
\[
\frac{8^{20} + 4^{20}}{425 + 645}
\]
- Nhận thấy \(8 = 2^3\) và \(4 = 2^2\):
\[
8^{20} = (2^3)^{20} = 2^{60}, \quad 4^{20} = (2^2)^{20} = 2^{40}
\]
- Vậy:
\[
2^{60} + 2^{40} = 2^{40}(2^{20} + 1)
\]

Tóm lại:
- Hoàn tất từng phần để nhận được kết quả cho từng phần của bài tập.