Cho a, b, c là các số nguyên thoả mãn 6a^2 + 7b^2 = 15c^2. Chứng minh abc chia hết 98

Để chứng minh rằng \( abc \) chia hết \( 98 \), ta cần chứng minh rằng \( a \), \( b \), và \( c \) đều chia hết \( 2 \) và \( 7 \), vì \( 98 = 2 \times 7^2 \).

Bắt đầu từ phương trình:

\[
6a^2 + 7b^2 = 15c^2
\]

### Bước 1: Chứng minh tính chẵn lẻ

1. **Xét trường hợp \( c \) chẵn**:
- Nếu \( c \) chẵn, thì \( c = 2k \) với \( k \) là số nguyên.
- Thay vào phương trình ta có:
\[
6a^2 + 7b^2 = 15(2k)^2 = 60k^2 \implies 6a^2 + 7b^2 \equiv 0 \pmod{2}
\]
- Từ đây suy ra \( 6a^2 \equiv 0 \pmod{2} \), nghĩa là \( a^2 \) chẵn, tức là \( a \) cũng chẵn.
- Xét \( b \), \( 7b^2 \equiv 0 \pmod{2} \) không chắc chắn, nhưng vì \( 6a^2 \) chẵn, nên\( 15c^2 \) cũng chẵn, suy ra \( 7b^2 \) cũng phải chẵn, do đó \( b \) cũng chẵn.

2. **Xét trường hợp \( c \) lẻ**:
- Nếu \( c \) lẻ, tức là \( c = 2k + 1 \) với \( k \) là số nguyên.
- Thay c vào phương trình:
\[
6a^2 + 7b^2 = 15(2k+1)^2 = 15(4k^2 + 4k + 1) = 60k^2 + 60k + 15
\]
- Ta có:
\[
6a^2 + 7b^2 \equiv 15 \pmod{2} \implies 6a^2 + 7b^2 \equiv 1 \pmod{2}
\]
- Khi này, cả \( 6a^2 \) và \( 7b^2 \) đều lẻ. (Bởi vì \( 6a^2 \) không bao giờ chẵn).
- Do vậy \( a \) cũng phải lẻ. Nếu \( b \) là lẻ thì \( 7b^2 \) sẽ lẻ và \( 6a^2 \) cũng lẻ, nhưng tổng là \( 1 \).

### Bước 2: Chứng minh chia hết 7

Ta quay lại phương trình:

\[
6a^2 + 7b^2 = 15c^2
\]

Lấy modulo \( 7 \):

\[
6a^2 \equiv 15c^2 \pmod{7} \implies 6a^2 \equiv 1c^2 \pmod{7}
\]

Suy ra:

\[
6a^2 \equiv c^2 \pmod{7}
\]

Từ đó, nếu \( c^2 \equiv 1 \pmod{7} \), suy ra \( c \equiv 1, 6 \pmod{7} \).

### Kết luận

Như vậy \( c \) hoặc là số chẵn, khi đó \( a, b \) đều chia hết \( 2 \). Hoặc là số lẻ mà \( a, b \) là như trên.

Vì vậy, \( a, b, c \) đều chia hết \( 2 \) và \( 7 \).

**Kết quả cuối cùng**:

- Chúng ta có \( abc \) chia hết \( 2^1 \times 7^2 = 98 \).
- Do đó, ta đã chứng minh được rằng \( abc \) chia hết \( 98 \).