Để giải các bài toán về hình thang vuông ABCD, ta như sau:

### Bài 2:
Cho hình thang vuông ABCD có:
- \( A = D = 90^\circ \)
- \( AB = 9 \, cm \)
- \( AD = 12 \, cm \)
- \( AC \perp BD \) tại O.

a) Tính OB, OD.

Ta có:
- Tính độ dài BD bằng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABD:
\[
BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \, cm.
\]
Do AC vuông góc với BD, ta sẽ có \( OB \) và \( OD \) thỏa mãn tỉ lệ.

b) Tính AC.

Hình thành tam giác vuông AOC, với
\[
AO^2 + OC^2 = AC^2.
\]

c) Tính S_ABCD (diện tích hình thang):

Diện tích hình thang \( S = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2} \).

### Bài 3:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết AH = 30cm, \( \frac{AB}{AC} = \frac{5}{6} \).

Tính HB, HC:
- Gọi AB = 5k và AC = 6k.

Áp dụng định lý Pythagore:
\[
AB^2 + AC^2 = BC^2 \implies (5k)^2 + (6k)^2 = BC^2.
\]

Tính toán:

### Bài 4:
Cho hình thang ABCD vuông tại A và D.
Hai đường chéo vuông góc tại O. Biết OA = 45cm, OC = 125cm.

a) Tính BD:
- Từ thông tin có sẵn, sử dụng tỉ lệ.

b) Tính khoảng cách từ O đến CD.

### Bài 5:
Cho hình thang cân ABCD (AB/CD) biết:
- \( AB = 26cm \), \( AD = 10cm \) và đường chéo AC vuông góc với cạnh BC.

Tính diện tích của hình thang:
\[
S = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2},
\]
với h = chiều cao tương ứng.

### Bài 6:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH bằng 30cm, chu vi tam giác AHC bằng 40cm. Tính chu vi tam giác ABC.

**Ghi chú**:
- Cần áp dụng định lý sinh hình và các công thức diện tích, chu vi, và tỉ lệ hình học cho các bài toán tương xứng với các dữ liệu đã cho. Hãy xác định các giá trị cần thiết từ thông tin đã có để tính toán cụ thể.