Cho phương trình x^4 + mx^2 + m = 0. Tìm để phương trình có 4 nghiệm phân biệt x1; x2; x3; x4 thoả mãn: x1^4 + x2^4 + x3^4 + x4^4 = 30

Để giải bài toán, ta xét phương trình:

\[
x^4 + mx^2 + m = 0
\]

Ta đặt biến mới \(y = x^2\), do đó phương trình trở thành:

\[
y^2 + my + m = 0
\]

Phương trình này là phương trình bậc 2 với các nghiệm \(y_1\) và \(y_2\). Để phương trình có 4 nghiệm phân biệt \(x_1, x_2, x_3, x_4\), mỗi nghiệm \(y_i\) phải lớn hơn 0 và phải cho ra 2 nghiệm dương phân biệt:

1. **Tính D:** Phương trình bậc 2 này có 2 nghiệm phân biệt nếu discriminant lớn hơn 0:

\[
D = m^2 - 4m > 0
\]

Giải bất phương trình này:

\[
m^2 - 4m > 0 \implies m(m - 4) > 0
\]

Do đó, \(m < 0\) hoặc \(m > 4\).

2. **Tính nghiệm \(y_1\) và \(y_2\):** Sử dụng công thức nghiệm, ta có:

\[
y_{1,2} = \frac{-m \pm \sqrt{m^2 - 4m}}{2}
\]

Vì \(y_1\) và \(y_2\) phải dương, ta có hệ điều kiện:

\(\frac{-m + \sqrt{m^2 - 4m}}{2} > 0\) và \(\frac{-m - \sqrt{m^2 - 4m}}{2} > 0\).

Xét từng điều kiện:
- Từ điều kiện đầu tiên:

\[
-m + \sqrt{m^2 - 4m} > 0 \implies \sqrt{m^2 - 4m} > m
\]

Bình phương hai bên, ta có:

\[
m^2 - 4m > m^2 \implies -4m > 0 \implies m < 0
\]

- Từ điều kiện thứ hai:

\[
-m - \sqrt{m^2 - 4m} > 0 \implies -m > \sqrt{m^2 - 4m}
\]

Bình phương hai bên, ta có:

\[
m^2 > m^2 - 4m \implies 4m > 0 \implies m > 0
\]

Như vậy, hệ này không có lời giải, ta chỉ cần đảm bảo \(y_1\), \(y_2 > 0\).

3. **Tính tổng \(x_1^4 + x_2^4 + x_3^4 + x_4^4\):** Có \(x_1^2 = y_1\) và \(x_2^2 = y_1\), \(x_3^2 = y_2\) và \(x_4^2 = y_2\).

\[
x_1^4 + x_2^4 + x_3^4 + x_4^4 = 2y_1^2 + 2y_2^2 = 2(y_1^2 + y_2^2)
\]

Ta cần \(2(y_1^2 + y_2^2) = 30 \implies y_1^2 + y_2^2 = 15\).

4. **Thay vào tổng:** Sử dụng công thức \(y_1 + y_2 = -\frac{m}{2}\) và \(y_1y_2 = \frac{m}{2}\).

Tính \(y_1^2 + y_2^2\):

\[
y_1^2 + y_2^2 = (y_1 + y_2)^2 - 2y_1y_2 = \left(-\frac{m}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{m}{2} = \frac{m^2}{4} - m = \frac{m^2 - 4m}{4}
\]

Đặt vào:

\[
\frac{m^2 - 4m}{4} = 15 \implies m^2 - 4m - 60 = 0
\]

Giải phương trình bậc 2:

\[
m = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 240}}{2} = 2 \pm \sqrt{64} = 2 \pm 8
\]

Kết quả được:

\[
m = 10 \quad \text{hoặc} \quad m = -6
\]

5. **Kết luận:** Các giá trị của \(m\) để phương trình có 4 nghiệm phân biệt cùng với điều kiện là:

\[
m = 10 \quad \text{hoặc} \quad m = -6
\]