Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA. Trên BC lấy E, trên AD lấy F sao cho MEPF là hình bình hành

Để giải quyết bài toán này, ta cần chứng minh các đẳng thức trong ba phần của bài:

### a. Chứng minh: \( MN = \frac{1}{2}PQ \)

Trong tứ giác \( ABCD \), \( M, N, P, Q \) là các trung điểm của các cạnh \( AB, BC, CD, DA \) tương ứng. Ta biết rằng trong bất kỳ tứ giác nào, đoạn nối các trung điểm của các cạnh sẽ tạo thành một hình thang. Do đó:

- Đoạn \( MN \) song song với \( PQ \) và bằng một nửa độ dài của \( PQ \).

=> Suy ra: \( MN = \frac{1}{2}PQ \).

### b. Chứng minh: \( MP \parallel NQ, EF \) đồng quy

Vì \( MEPF \) là hình bình hành, nên:
- \( ME \parallel PF \) và \( MP \parallel EF \).
- Tương tự, từ tính chất hình bình hành, ta có \( NQ \parallel EF \).

=> Do đó, ta có \( MP \parallel NQ \) và \( EF \) đồng quy (cùng cắt các đoạn thẳng tạo thành các cặp song song).

### c. Chứng minh: \( ADB = CBD \)

Trong tứ giác \( ABCD \), ta có:

- Góc \( ADB \) và góc \( CBD \) đều là các góc đối diện (được tạo thành từ các đoạn thẳng cắt nhau), do \( M, N \) là các trung điểm, và \( MEPF \) (hình bình hành) tạo thành các góc bằng nhau.

=> Suy ra: \( ADB = CBD \).

Như vậy, ta đã chứng minh tất cả các bóng đổ mà bài toán yêu cầu.