Để xác định đẳng thức nào là sai trong câu hỏi trên, ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn:

A. \( \sin^6 x - \cos^6 x = 1 - 3\sin^2 x \cos^2 x, \forall x \)
Đẳng thức này đúng dựa trên định lý đại số.

B. \( \tan^2 x - \sin^2 x = \tan^2 x \sin^2 x, \forall x \neq 90^\circ \)
Đẳng thức này cũng đúng khi xét các điều kiện.

C. \( (\cos x + \sin x)^2 + (\cos x - \sin x)^2 = 2, \forall x \)
Đẳng thức này cũng đúng, áp dụng công thức bình phương.

D. \( \sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x, \forall x \)
Đẳng thức này sai. Thực tế là \( \sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x \) không đúng do \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) nhưng phương trình này không đúng cho mọi \( x \).

Vậy **đáp án sai** là **D**.