Để chứng minh đẳng thức \( GG' = \frac{1}{4}(AA' + BB' + CC' + DD') \), ta có thể làm theo các bước sau:

1. **G xác định vị trí**: Gọi \( M \) và \( N \) lần lượt là trung điểm của \( AC \) và \( BD \). Khi đó, \( G \) là trung điểm của đoạn nối \( M \) và \( N \).

2. **Công thức chiều cao**: Để tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, ta có thể sử dụng công thức chiều cao. Cụ thể, với mỗi điểm \( A, B, C, D \), khoảng cách từ mỗi điểm này tới đường thẳng \( m \) (tương ứng là \( AA', BB', CC', DD' \)) chính là chiều cao từ các điểm này tới đường thẳng \( m \).

3. **Tính chiều cao của G**: Tương tự, khoảng cách \( GG' \) từ điểm \( G \) tới đường thẳng \( m \) có thể được tính thông qua chiều cao của điểm \( G \).

4. **Tính trọng số**: Ta xét vị trí của \( G \):
- \( G \) là trung điểm của đoạn nối hai trung điểm \( M \) và \( N \) như đã đề cập, nên \( G \) sẽ nằm ở vị trí trung bình của các chiều cao từ các điểm \( A, B, C, D \) tới đường thẳng \( m \).

5. **Kết hợp**:
- Từ tính chất của trung điểm,
\[ GG' = \text{trung bình} \left( AA' + BB' + CC' + DD' \right) \]
- Vì \( G \) là trung điểm của \( M \) và \( N \), ta biết rằng \( G \) sẽ là trung bình của \( AA', BB', CC', DD' \).

6. **Kết luận**:
- Như vậy, ta có:
\[
GG' = \frac{1}{4}(AA' + BB' + CC' + DD').
\]

Đó là lý do tại sao chúng ta có được đẳng thức mong muốn \( GG' = \frac{1}{4}(AA' + BB' + CC' + DD') \).