Để chứng minh các phần của bài toán, hãy xem xét tam giác nhọn \( ABC \) với \( AB < AC \) và hai đường cao \( BE \) và \( CF \) cắt nhau tại \( H \).

### Phần a: Chứng minh bốn điểm \( A, E, H, F \) cùng thuộc một đường tròn và xác định tâm của đường tròn đó.

1. **Chứng minh:**
- Xét các góc ở các điểm:
- Tâm giác \( BEH \) có \( \angle BHE = 90^\circ \) (vì \( BE \) là đường cao).
- Tâm giác \( CFH \) có \( \angle CHF = 90^\circ \) (vì \( CF \) là đường cao).

- Xét các góc:
- Ta có \( \angle AHB = \angle BHE \) (góc đối diện với \( H \)).
- Tương tự, \( \angle AHC = \angle CHF \).

- Điều này suy ra rằng:
\[
\angle AHB + \angle AHC = 180^\circ, \text{ do đó, } A, E, H, F \text{ cùng nằm trên một đường tròn.}
\]

2. **Xác định tâm \( I \) của đường tròn:**
- Tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác \( AEHF \) là điểm \( I \) thuộc đường tròn này.

### Phần b: Chứng minh bốn điểm \( B, F, E, C \) cùng thuộc một đường tròn và xác định tâm của đường tròn đó.

1. **Chứng minh:**
- Xét các góc ở các điểm:
- Mặt khác, \( \angle BFE = \angle BEC \) (vì \( BE \) và \( CF \) là hai đường cao, nội tiếp tại \( H \)).
- Tương tự, \( \angle CEF = \angle CFB \).

- Mặt khác:
\[
\angle BFE + \angle CEF = 180^\circ.
\]
- Do đó, \( B, F, E, C \) cũng cùng thuộc một đường tròn.

2. **Xác định tâm \( M \) của đường tròn:**
- Tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác \( BFEH \) là điểm \( M \).

### Phần c: Chứng minh \( IM \) vuông góc với \( EF \).

1. **Chứng minh:**
- Ta có \( I \) là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \( AEHF \) và \( M \) là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \( BECF \).
- Hai tâm này sẽ nằm trên đường thẳng vuông góc với \( EF \) vì \( AEHF \) và \( BECF \) có các đồ hình song song và đồng dạng.
- Suy ra that:
\[
IM \perp EF.
\]

Từ đó, ta đã chứng minh được các phần của bài toán.