Để chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành, trước tiên ta cần xây dựng một số thông tin về hình bình hành ABCD và các điểm M, N.

### Phần (a): Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành

1. **Xác định các điểm:**
- M là trung điểm của AB: \( AM = MB \)
- N là trung điểm của CD: \( CN = ND \)

2. **Tính chất của hình bình hành:**
- Trong một hình bình hành, hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song.

3. **Chứng minh cạnh đối diện:**
- Bởi vì M là trung điểm của AB và N là trung điểm của CD, nên ta có:
\[
AM = MB \quad \text{và} \quad CN = ND
\]
- Do đó, ta có:
\[
AN = AM + MN \quad \text{và} \quad MC = MB + CN
\]
- Để chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành, ta cần chỉ ra rằng:
\[
AM = CN \quad \text{và} \quad AN = MC
\]

4. **Xét các vector:**
- Gọi \( \vec{A} \), \( \vec{B} \), \( \vec{C} \), \( \vec{D} \) lần lượt là các vị trí của các điểm A, B, C, D.
- Suất trung điểm của M và N có thể được biểu diễn bằng công thức:
\[
\vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2}, \quad \vec{N} = \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2}
\]

5. **Chứng minh các cạnh:**
- Phân tích các vector:
\[
\vec{AM} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} - \vec{A} = \frac{\vec{B} - \vec{A}}{2}
\]
\[
\vec{CN} = \vec{C} - \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2} = \frac{\vec{D} - \vec{C}}{2}
\]
- Bởi vì trong hình bình hành, \( \vec{B} - \vec{A} = \vec{D} - \vec{C} \), nên ta có:
\[
\vec{AM} = \vec{CN}
\]

6. **Kết luận:**
- Vì AM = CN và AN = MC, mà AM và CN đối diện và bằng nhau, AN và MC đối diện và bằng nhau, ta có thể khẳng định rằng tứ giác AMCN là hình bình hành.

### Phần (b): Chứng minh \( AN \parallel CM \) và \( \angle BMB = \angle DNB \)

1. **Khẳng định \( AN \parallel CM \):**
- Từ hình bình hành ABCD, ta có các cặp cạnh đối diện song song \( AB \parallel CD \).
- Khi M, N là trung điểm, ta có thể áp dụng định lý: hai đường thẳng nối trung điểm của các cạnh của một hình bình hành sẽ song song với nhau.

2. **Chứng minh góc:**
- Theo đặc tính hình bình hành, \( \angle BMB = \angle DNB \) do \( \angle B \) và \( \angle D \) là các góc đối đối diện trong một hình bình hành (các góc này đều bù nhau).

### Kết luận chung
Như vậy, ta đã chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành thông qua các tính chất của các vectơ và với các phương trình, đồng thời khẳng định rằng các đường AN và CM song song và góc BMB và DNB bằng nhau.