Để chứng minh rằng \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 \) trong điều kiện \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \) và \( \frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} = 0 \), ta có thể làm như sau:

Bắt đầu từ điều kiện thứ nhất:

\[
\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1.
\]

Nếu ta đặt \( \frac{x}{a} = u, \frac{y}{b} = v, \frac{z}{c} = w \), thì có thể viết lại như sau:

\[
u + v + w = 1.
\]

Từ đó, ta cũng có:

\[
x = au, \quad y = bv, \quad z = cw.
\]

Thay vào điều kiện thứ hai:

\[
\frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} = 0,
\]

thay \( x, y, z \) vào:

\[
\frac{a}{au} + \frac{b}{bv} + \frac{c}{cw} = \frac{1}{u} + \frac{1}{v} + \frac{1}{w} = 0.
\]

Nhân cả phương trình với \( uvw \) (với \( u, v, w \neq 0 \)):

\[
vw + uw + uv = 0.
\]

Giờ ta quay trở lại với điều kiện \( u + v + w = 1 \). Từ phương trình \( vw + uw + uv = 0 \), ta có thể chỉ ra rằng:

\[
w = -\frac{uv}{u+v},
\]

với \( w = 1 - (u + v) \).

Tiếp theo, áp dụng \( 1 = u + v + w \) vào biểu thức cần chứng minh:

\[
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = u^2 + v^2 + w^2.
\]

Ta biết từ cùng một điều kiện \( u + v + w = 1 \) nên:

\[
u^2 + v^2 + w^2 = (u + v + w)^2 - 2(uv + vw + wu) = 1 - 2(uv + vw + wu).
\]

Bây giờ ta cần kiểm tra giá trị \( uv + vw + wu \):

Từ \( vw + uw + uv = 0 \) nhận được:

\[
uv + vw + wu = -uv.
\]

Vậy chúng ta có:

\[
u^2 + v^2 + w^2 = 1 - 2(-uv) = 1 + 2uv.
\]

Cuối cùng, sử dụng các điều kiện đã cho, ý tưởng cụ thể để chứng minh rằng:

\[
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1,
\]

ta nhận được kết quả cuối cùng là \( 1 \).

Do đó, \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 \) là đúng.