Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước sau:

### a) Rút gọn biểu thức \( P \)

Biểu thức của bạn là:

\[
P = \frac{x+2}{\sqrt{x+1}} + \frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}} - \frac{\sqrt{x-1}}{x-1}
\]

Đầu tiên, ta cộng các phân số lại:

1. Tìm mẫu chung cho các phân số (có thể là \( (x-1)(\sqrt{x+1}) \)).
2. Chuyển đổi từng phân số về mẫu chung.
3. Sau đó, gộp lại.

### b) Tìm \( x \) để \( |P| = \frac{2}{3} \)

Để tìm \( x \) thỏa mãn \( |P| = \frac{2}{3} \), ta sẽ:

1. Giải phương trình \( P = \frac{2}{3} \) và \( P = -\frac{2}{3} \).
2. Tính giá trị của \( P \) theo giá trị của \( x \) và so sánh với 2/3.

### c) Chứng minh rằng với những giá trị của \( x \) làm cho \( P \) được xác định thì \( P < 1 \)

1. Xác định miền xác định của \( P \) (xác định điều kiện cho mẫu không bằng 0 và căn không âm).
2. Tính toán phân tích để chứng minh rằng với các giá trị này, \( P \) luôn nhỏ hơn 1.

### Lưu ý

Bạn cần thực hiện từng bước một cách cẩn thận, đặc biệt là khi thực hiện phép rút gọn và giải phương trình. Nếu cần hỗ trợ cụ thể hơn về cách rút gọn hay giải toán, bạn có thể yêu cầu!