Để chứng minh rằng với hai giá trị đối nhau của \( x \) thì biểu thức \( A \) có hai giá trị đối nhau, ta sẽ bắt đầu viết lại biểu thức \( A \).

Biểu thức cho trước là:

\[
A = x(1+x) - x^2(1-x) + x^3(x^2 - 1)
\]

Ta sẽ giản lược biểu thức này:

1. Tính toán từng phần trong \( A \):

- \( x(1+x) = x + x^2 \)
- \( -x^2(1-x) = -x^2 + x^3 \)
- \( x^3(x^2-1) = x^5 - x^3 \)

2. Thay các phần vào biểu thức \( A \):

\[
A = (x + x^2) + (-x^2 + x^3) + (x^5 - x^3)
\]

3. Giản lược các thành phần:

\[
A = x + x^2 - x^2 + x^3 + x^5 - x^3
\]

4. Gộp các số hạng lại:

\[
A = x + x^5
\]

Bây giờ, ta có \( A = x + x^5 \).

Tiếp theo, ta sẽ xem xét hai giá trị đối nhau của \( x \). Giả sử \( x_1 \) và \( x_2 \) là hai giá trị đối nhau, nghĩa là:

\[
x_2 = -x_1
\]

Bây giờ, tính giá trị của \( A \) với \( x_1 \) và \( x_2 \):

1. Khi \( x = x_1 \):

\[
A(x_1) = x_1 + x_1^5
\]

2. Khi \( x = x_2 = -x_1 \):

\[
A(x_2) = -x_1 + (-x_1)^5 = -x_1 - x_1^5
\]

Ta thấy rằng:

\[
A(x_2) = -A(x_1)
\]

Điều này cho thấy rằng với hai giá trị đối nhau của \( x \), biểu thức \( A \) có hai giá trị đối nhau.

Vậy ta đã chứng minh rằng với hai giá trị đối nhau của \( x \), biểu thức \( A \) có hai giá trị đối nhau.