Để giải hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
a^3 - 3ab^2 = 19 \\
b^3 - 3a^2b = 98
\end{cases}
\]

Ta có thể nhận ra rằng các phương trình trên có thể được viết dưới dạng các hàm số phức tạp. Một cách tiếp cận là xem xét \( a \) và \( b \) như là phần thực và phần ảo của một số phức.

Ta sử dụng công thức:

\[
z = a + bi
\]

Trong đó \( z^3 = (a + bi)^3 = a^3 - 3ab^2 + (3a^2b - b^3)i \).

Từ đó, ta thấy rằng \((a+b i)^3\) có thể được trình bày như sau:

\[
(a + bi)^3 = 19 + 98i
\]

Giờ, ta tính mô đun của \( z^3 \):

\[
|z^3| = \sqrt{19^2 + 98^2} = \sqrt{361 + 9604} = \sqrt{9965}
\]

Tiếp theo, ta tính \( z \):

\[
|z|^3 = \sqrt{9965} \implies |z| = \sqrt[3]{\sqrt{9965}} \approx 10.004
\]

Dễ dàng tìm ra \( N = a^2 + b^2 = |z|^2 \).

Do đó:

\[
N = |z|^2 \approx 100
\]

Vậy \( N = a^2 + b^2 \approx 100 \).

Tóm lại, giá trị của \( N \) là khoảng 100.