Để chứng minh các kết quả trong tam giác ABC cân tại A với đường cao AH, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh tam giác AHB = tam giác AHC

Tam giác ABC cân tại A nên \( AB = AC \). Hơn nữa, \( AH \) là đường cao từ A, vì vậy \( AH \perp BC \).

Xét hai tam giác AHB và AHC:

- \( AB = AC \) (do tam giác cân)
- \( AH = AH \) (đương nhiên)
- Hai góc \( \angle AHB \) và \( \angle AHC \) đều bằng góc vuông (tức là 90 độ)

Vì vậy, theo tiêu chuẩn đồng dạng tam giác, ta có:

\[
\triangle AHB \cong \triangle AHC
\]

### b) Chứng minh AD = DH

Kẻ đường thẳng từ điểm H song song với AC, cắt AB tại D.

Do AD // AC và AH // BH (AH vuông góc với BC), từ đó suy ra:

- \( \angle AHD = \angle DAB \) (góc đồng vị)

Trong tam giác AHB, ta có:
- \( AD \) song song với AC nên \(\angle ADH = \angle ACD\) cũng đồng thời là góc trong, vì AH vuông góc với BC.
- Theo định nghĩa các đoạn thẳng song song thì hai góc này sẽ bằng nhau.

Suy ra \( AD = DH \) theo tính chất của các tam giác vuông.

### c) Chứng minh B, G, E thẳng hàng

Gọi E là trung điểm của AC, CD cắt AH tại G.

Từ phần b, chúng ta đã biết \( AD = DH \). Áp dụng định lý trung điểm vào tam giác ABC:

Vì E là trung điểm của AC, nên AE = EC.

Xét tam giác AHC, ta có \( HC = AH \).

Từ đó suy ra G nằm trên đoạn AH, đoạn DC cắt AH tại G.

Từ phần b, ta đã chứng minh được AD = DH, nên \( H \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AD \) trong tam giác AHB.

Do đó, các điểm B, G và E sẽ thẳng hàng.

Kết luận: Ta có
- Đã chứng minh được các phần a, b, và c của bài toán yêu cầu.
- Hy vọng giải thích rõ ràng và dễ hiểu cho bạn trong quá trình nghiên cứu.