Để trả lời các yêu cầu trong bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng yêu cầu theo thứ tự:

### 1. Tính góc \( \angle MAN \)

Trong tam giác vuông \( \triangle ABM \), chúng ta có:
- \( \angle ABM = 90^\circ \)
- \( \angle ABM = 48^\circ \)

Áp dụng tính chất tổng của các góc trong tam giác, ta có:
\[
\angle AMB = 90^\circ - 48^\circ = 42^\circ
\]

### 2. Chứng tỏ \( xy \parallel mn \)

Nếu \( xy \) vuông góc với \( AM \) tại điểm \( M \), và \( mn \) song song với \( AB \), thì ta có:
- \( \angle AMN = 90^\circ - \angle ABM = 42^\circ \)
- \( \angle BMA = 90^\circ \)

Do đó, theo định lý về góc so le trong hai đường thẳng song song cắt nhau, ta có \( xy \parallel mn \).

### 3. Chứng tỏ \( mn \parallel NP \)

Do \( mn \) song song với \( AB \) và \( NP \) cũng vuông góc với \( AM \), ta có thể áp dụng tính chất của hai đường thẳng song song:
\[
\angle NMP = \angle NMB = 90^\circ
\]

Vì vậy, ta có thể chứng minh rằng \( mn \) song song với \( NP \).

### 4. Tính góc \( KMP \)

Dựa vào các góc đã biết trong tam giác \( \triangle KMP \):
\[
\angle KMP + \angle MKN + \angle KNM = 180^\circ
\]
Ta có thể tính toán:
\[
\angle KNM = 90^\circ \quad \text{và từ câu 1, } \angle MKN = 42^\circ
\]
Suy ra:
\[
\angle KMP = 180^\circ - (90^\circ + 42^\circ) = 48^\circ
\]

### Kết luận:
- \( \angle MAN = 42^\circ \)
- \( xy \parallel mn \)
- \( mn \parallel NP \)
- \( \angle KMP = 48^\circ \)