Để giải bài toán này, trước tiên, chúng ta cần tìm độ lớn của các vectơ \(\mathbf{u}\) và \(\mathbf{v}\):

\[
\mathbf{u} = 2\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + \mathbf{k}
\]
\[
|\mathbf{u}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3
\]

Tiếp theo, chúng ta tính độ lớn của \(\mathbf{v}\):

\[
\mathbf{v} = (m; 2; m+1) = m\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + (m+1)\mathbf{k}
\]
\[
|\mathbf{v}| = \sqrt{m^2 + 2^2 + (m+1)^2} = \sqrt{m^2 + 4 + (m^2 + 2m + 1)} = \sqrt{2m^2 + 2m + 5}
\]

Theo như đề bài, chúng ta có điều kiện:

\[
|\mathbf{u}| = |\mathbf{v}|
\]

Vậy ta có phương trình:

\[
3 = \sqrt{2m^2 + 2m + 5}
\]

Bình phương hai vế:

\[
9 = 2m^2 + 2m + 5
\]

Chuyển tất cả về một bên:

\[
2m^2 + 2m + 5 - 9 = 0
\]
\[
2m^2 + 2m - 4 = 0
\]

Chia hết cả phương trình cho 2:

\[
m^2 + m - 2 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai này bằng công thức:

\[
m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}
\]

Ta có hai nghiệm:

\[
m_1 = \frac{2}{2} = 1,\quad m_2 = \frac{-4}{2} = -2
\]

Vậy có 2 giá trị của \(m\) là \(1\) và \(-2\).