Để giải bài toán này, trước tiên, ta cần phân tích dãy số được đưa ra.

Dãy số có dạng: \( \frac{1}{2}, \frac{1}{6}, \frac{1}{12}, \frac{1}{20}, \frac{1}{30}, \frac{1}{42}, \ldots \)

### a) Tính tổng của 10 số hạng đầu tiên của dãy số

Trước tiên, chúng ta cần tìm số hạng thứ n của dãy số. Các mẫu số trong các số hạng cho thấy hệ số của chúng là các số dạng tích của hai số liên tiếp:

- \( 2 = 1 \cdot 2 \)
- \( 6 = 2 \cdot 3 \)
- \( 12 = 3 \cdot 4 \)
- \( 20 = 4 \cdot 5 \)
- \( 30 = 5 \cdot 6 \)
- \( 42 = 6 \cdot 7 \)

Tổng quát, có thể viết số hạng thứ n là:

\[
a_n = \frac{1}{n(n+1)}
\]

Vì vậy, ta cần tính tổng của 10 số hạng đầu tiên:

\[
S_{10} = \sum_{n=1}^{10} \frac{1}{n(n+1)}
\]

Chúng ta có thể viết lại từng số hạng bằng cách phân tích phân số:

\[
\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}
\]

Áp dụng vào tổng:

\[
S_{10} = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{11} \right)
\]

Khi tính tổng này, ta thấy các phần tử sẽ hủy nhau, chỉ còn lại:

\[
S_{10} = 1 - \frac{1}{11} = \frac{11}{11} - \frac{1}{11} = \frac{10}{11}
\]

### b) Số \( \frac{1}{10200} \) có phải là số hạng của dãy số trên không?

Để kiểm tra xem \( \frac{1}{10200} \) có phải là số hạng của dãy số không, ta cần tìm \( n \) sao cho:

\[
\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{10200}
\]

Điều này tương đương với:

\[
n(n+1) = 10200
\]

Giải phương trình:

\[
n^2 + n - 10200 = 0
\]

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2:

\[
n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 40800}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{40801}}{2}
\]

Tính toán:

\[
\sqrt{40801} = 202 \quad \text{(vì $202^2 = 40804$, rất gần)}
\]

Vì vậy:

\[
n = \frac{-1 + 202}{2} = \frac{201}{2} = 100.5
\]

Với kết quả trên, \( n \) không phải là một số nguyên, do đó \( \frac{1}{10200} \) không phải là một số hạng trong dãy số đã cho.

### Kết luận:

- Tổng của 10 số hạng đầu tiên là \( \frac{10}{11} \).
- Số \( \frac{1}{10200} \) không phải là số hạng của dãy số trên.