Để xác định số lượng giá trị của tham số \( m \) để giá trị lớn nhất của hàm số

\[
y = \frac{x - m^2 - 2}{x - m}
\]

trên đoạn \([0; 4]\) bằng \(-1\), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Xác định điều kiện để hàm số xác định.**
- Hàm số không xác định khi \( x - m = 0 \) hay \( x = m \). Vì đoạn \([0; 4]\) có giá trị \( x \) trong khoảng này, nên \( m \) không được nằm trong đoạn này.

2. **Tìm giá trị lớn nhất của hàm số.**
- Tính đạo hàm \( y' \) để tìm các điểm cực trị:
\[
y' = \frac{(x - m)(1) - (x - m^2 - 2)(1)}{(x - m)^2} = \frac{(x - m) - (x - m^2 - 2)}{(x - m)^2} = \frac{m^2 + 2 - m}{(x - m)^2}
\]

- Giải \( y' = 0 \):
\[
m^2 + 2 - m = 0 \implies m^2 - m + 2 = 0
\]
- Đánh giá nghiệm:
\[
\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7
\]
- Phương trình này không có nghiệm thực, do đó hàm số không có cực trị trong đoạn xác định.

3. **Tính giá trị tại các biên:**
- Tính giá trị tại \( x = 0 \) và \( x = 4 \):
\[
y(0) = \frac{0 - m^2 - 2}{0 - m} = \frac{-m^2 - 2}{-m} = \frac{m^2 + 2}{m}, \quad m \neq 0
\]
\[
y(4) = \frac{4 - m^2 - 2}{4 - m} = \frac{2 - m^2}{4 - m}
\]

4. **Giá trị lớn nhất của hàm số bằng -1:**
Giải phương trình:
\[
\max \left( \frac{m^2 + 2}{m}, \frac{2 - m^2}{4 - m} \right) = -1
\]

Giải quyết từng phương trình:
- **Với \( y(0) = -1 \):**
\[
\frac{m^2 + 2}{m} = -1 \implies m^2 + 2 = -m \implies m^2 + m + 2 = 0
\]
\(\Delta < 0\) => không có nghiệm.

- **Với \( y(4) = -1 \):**
\[
\frac{2 - m^2}{4 - m} = -1 \implies 2 - m^2 = -4 + m \implies m^2 + m - 6 = 0
\]
Giải phương trình bậc 2:
\[
\Delta = 1 + 24 = 25 \implies m = \frac{-1 \pm 5}{2} \implies m_1 = 2, m_2 = -3
\]

Do đó, có 2 giá trị của \( m \) là \( m = 2 \) và \( m = -3 \) để giá trị lớn nhất của hàm số bằng \(-1\).

**Kết luận:** Có **2 giá trị** của tham số \( m \).