Tính

Để tính biểu thức đã cho, ta sẽ phân tích từng phần trong ngoặc:

\[
1 + \frac{5}{15} + \frac{5}{35} + \frac{5}{63} + \ldots + \frac{5}{999999}
\]

Dễ nhận thấy rằng mẫu số của các phân số tạo thành một dãy số. Các mẫu số có thể được xác định là số lẻ dãy số tính theo công thức \(2n - 1\) với \(n\) là số tự nhiên liên tiếp, bắt đầu từ 1.

Cụ thể:
- 1 (mẫu 1)
- 15 (mẫu 3 \times 5)
- 35 (mẫu 7 \times 5)
- 63 (mẫu 9 \times 7)

Vì vậy, ta tính tổng theo công thức:

\[
T = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5}{(2n-1)(2n+1)}
\]

Mà \(2n-1\) là các số lẻ và độ lớn của chuẩn này lên tới 999999.

Ta có thể sử dụng công thức tổng quát đã biết cho dãy này. Tổng của \(T\) được tính thông qua các hiệu của các phân số lân cận.

Tuy nhiên, trong biểu thức của chúng ta, sẽ đơn giản hơn nếu ta gộp lại và xem xét tỷ số của biểu thức:

\[
\frac{1001}{500} \cdot T
\]

Cuối cùng:
- \(T\) là 5 cho hàng triệu mẫu.
- Nhân với \(\frac{1001}{500}\), ta đơn giản hóa:

\[
= \frac{1001}{500} \cdot 2
\]

Kết thúc biểu thức, ta sẽ có kết quả của bài toán này.

Sau khi thực hiện các phép tính, ta có:

\[
\frac{1001 \times 2}{500} = \frac{2002}{500} = 4.004
\]

Kết quả cuối cùng của biểu thức là \(4.004\).