Thầy giáo viết 23 số tự nhiên 1; 2;3 ;...;23 thành hàng ngang. Thầy cho học sinh chơi đổi số: Mỗi lần đổi số, người chơi xóa hai số a; b bất kì và thay bằng số |a - b|

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ phân tích quá trình thay thế số và ảnh hưởng của nó đến tổng và các đặc điểm khác của dãy số.

### a) Xác định \( p \)

1. **Tổng các số ban đầu:**
- Dãy số từ 1 đến 23 có tổng là:
\[
S = 1 + 2 + 3 + \ldots + 23 = \frac{23 \times (23 + 1)}{2} = 276.
\]

2. **Tính chất của việc thay thế:**
- Khi thay thế hai số \( a \) và \( b \) bằng \( |a - b| \), tổng của dãy số sẽ giảm đi \( a + b - |a - b| = 2 \min(a, b) \).
- Do đó, tổng của dãy số sẽ giảm ít nhất 2 mỗi lần thực hiện phép thay thế.

3. **Số lần thay thế:**
- Mỗi lần thay thế sẽ xóa đi 1 số trong dãy (2 số được thay thế bằng 1 số). Với 23 số ban đầu, để còn lại 1 số duy nhất, chúng ta sẽ thực hiện phép thay thế 22 lần.

4. **Số cuối cùng còn lại:**
- Sau 22 lần thay thế, tổng có thể giảm xuống mức tối thiểu là:
\[
276 - 2 \times 22 = 232.
\]

### b) Quy trình biến đổi dãy số

1. **Quy trình thực hiện:**
- Ở mỗi bước, chọn 2 số bất kỳ \( a \) và \( b \) trong dãy và thay thế chúng bằng \( |a - b| \).
- Việc lựa chọn số nào để thay thế có thể tùy ý, nhưng kết quả cuối cùng sẽ phụ thuộc vào cách thức thực hiện và các số còn lại trong dãy.

2. **Đặc điểm của số rốt cuộc:**
- Do tổng ban đầu là 276, và mỗi bước thay thế sẽ làm tổng giảm, cuối cùng số còn lại cũng phải là một số nguyên.

### Kết luận

Dựa vào quá trình thay thế, số còn lại sẽ là một số nguyên, do số nguyên được duy trì qua phép thay thế. Tuy nhiên, nếu chỉ dựa vào luật giảm tổng thì không thể xác định chính xác số nguyên này, vì nó phụ thuộc vào cách thức lựa chọn và thay thế trong từng bước.

Tóm lại:
- \( p \) là số nguyên mà cũng có thể là 0 nếu tất cả các số đều bằng nhau sau cùng.
- Quy trình biến đối có thể được miêu tả như việc liên tục thay thế hai số cho đến khi còn lại một số duy nhất.