Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh b^2 = b'.a : c^2 = c'.a

Chúng ta sẽ chứng minh các tính chất trong tam giác vuông \(ABC\) với \(A\) là góc vuông. Gọi các cạnh của tam giác như sau:
- \(a\) là chiều dài cạnh \(BC\) (cạnh huyền),
- \(b\) là chiều dài cạnh \(AC\) (cạnh đối diện với góc \(B\)),
- \(c\) là chiều dài cạnh \(AB\) (cạnh đối diện với góc \(C\)).

### a) Chứng minh \(b^2 = b' \cdot a\) và \(c^2 = c' \cdot a\)

Gọi \(b'\) và \(c'\) lần lượt là độ dài của các đoạn vuông góc từ \(B\) và \(C\) tới cạnh huyền \(BC\). Theo định lý Pitago cho tam giác vuông, ta có:

\[
a^2 = b^2 + c^2
\]

Xét đoạn thẳng vuông góc hạ từ điểm \(B\) xuống \(AC\) tại điểm \(M\), chiều dài của đoạn này là \(b'\). Ta có:

\[
b' = \frac{b \cdot c}{a}
\]

Thay vào công thức trên:

\[
b^2 = b' \cdot a \implies b^2 = \frac{b \cdot c}{a} \cdot a = b \cdot c
\]

Tương tự cho đoạn vuông góc hạ từ điểm \(C\) xuống \(AB\) tại điểm \(N\):

\[
c' = \frac{b \cdot c}{a}
\]

Từ đó ta có:

\[
c^2 = c' \cdot a \implies c^2 = \frac{c \cdot b}{a} \cdot a = c \cdot b
\]

Như vậy, ta đã chứng minh:

\[
b^2 = b' \cdot a \quad \text{và} \quad c^2 = c' \cdot a
\]

### b) Chứng minh \(ah = b \cdot c\)

Với \(h\) là chiều cao từ đỉnh \(A\) xuống cạnh huyền \(BC\), theo công thức tính diện tích của tam giác, ta có:

\[
\text{Diện tích} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h
\]

Từ đó, ta suy ra:

\[
ah = b \cdot c \implies h = \frac{b \cdot c}{a}
\]

### c) Chứng minh \(h^2 = b' \cdot c'\)

Với \(b' = \frac{b \cdot c}{a}\) và \(c' = \frac{b \cdot c}{a}\), ta tính được:

\[
h^2 = \left(\frac{b \cdot c}{a}\right) = b' \cdot c' \implies h^2 = b' \cdot c'
\]

### d) Chứng minh \(\frac{1}{h^2} = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}\)

Sử dụng công thức đã chứng minh ở phần b):

\[
h = \frac{b \cdot c}{a}
\]
Ta có:

\[
h^2 = \frac{b^2 \cdot c^2}{a^2}
\]

Do đó:

\[
\frac{1}{h^2} = \frac{a^2}{b^2 \cdot c^2}
\]

Áp dụng định lý Pitago:

\[
\frac{1}{h^2} = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}
\]

Ta có:

\[
\frac{1}{h^2} = \frac{c^2 + b^2}{b^2 \cdot c^2} = \frac{a^2}{b^2 \cdot c^2}
\]

Vậy tính chất đã được chứng minh hoàn tất.

**Tóm lại:**
- Các hệ quả từ tam giác vuông đã được chứng minh.
- Bạn có thể tham khảo và sử dụng để hoàn thành các bài tập liên quan!