Để tìm tập hợp giá trị của \( m \) cho phương trình

\[
\sin(2x) + 2 = m,
\]

ta chuyển đổi phương trình này thành:

\[
\sin(2x) = m - 2.
\]

Vì hàm số \( \sin(2x) \) có giá trị trong khoảng \([-1, 1]\), ta có điều kiện:

\[
-1 \leq m - 2 \leq 1.
\]

Giải hệ bất phương trình này:

1. Từ \( m - 2 \geq -1 \), ta có:

\[
m \geq 1.
\]

2. Từ \( m - 2 \leq 1 \), ta có:

\[
m \leq 3.
\]

Kết hợp cả hai điều kiện trên, ta có:

\[
1 \leq m \leq 3.
\]

Tập hợp giá trị của \( m \) là \( [1, 3] \).

Khi đó, \( a = 1 \) và \( b = 3 \), ta tính được:

\[
a + b = 1 + 3 = 4.
\]

Vậy kết quả cuối cùng là:

\[
\boxed{4}.
\]