Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

Để khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số trong bài toán trên, ta sẽ tiến hành theo các bước tổng quát: xác định miền xác định, tính đạo hàm, tìm cực trị, xét tính đơn điệu và xác định các điểm giao nhau với trục tọa độ.

### 1) Hàm số: \( y = x^3 + x - 2 \)

- **Miền xác định**: \( x \in \mathbb{R} \).
- **Đạo hàm**: \( y' = 3x^2 + 1 \) (luôn dương, nên hàm đồng biến).
- **Cực trị**: Không có cực trị.
- **Điểm giao với trục y**: Khi \( x = 0 \), \( y = -2 \).

### 2) Hàm số: \( y = 2x^3 + x^2 - \frac{1}{2}x - 3 \)

- **Miền xác định**: \( x \in \mathbb{R} \).
- **Đạo hàm**: \( y' = 6x^2 + 2x - \frac{1}{2} \).
- **Giải phương trình bậc 2 để tìm cực trị.**
- **Tính giá trị tại các điểm cực trị để xác định tính đồng biến và nghịch biến.**

### 3) Hàm số: \( y = x^3 \)

- **Miền xác định**: \( x \in \mathbb{R} \).
- **Đạo hàm**: \( y' = 3x^2 \) (tại \( x = 0 \) có cực trị, còn lại hàm đồng biến).
- **Điểm giao với trục y**: Khi \( x = 0 \), \( y = 0 \).

### 4) Hàm số: \( y = x^3 - 3x \)

- **Miền xác định**: \( x \in \mathbb{R} \).
- **Đạo hàm**: \( y' = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1) \).
- **Cực trị tại \( x = -1, 1 \)**.
- **Tính giá trị của hàm tại cực trị.**

### 5) Hàm số: \( y = -x^2 + 3x \)

- **Miền xác định**: \( x \in \mathbb{R} \).
- **Đạo hàm**: \( y' = -2x + 3 \) (có điểm cực trị tại \( x = \frac{3}{2} \)).
- **Điểm giao với trục y**: Khi \( x = 0, y = 0 \).

Sau khi thực hiện khảo sát trên, bạn có thể vẽ đồ thị của từng hàm số dựa trên các thông tin đã phân tích.