Để tính kết quả của phép tính \( \frac{3}{7} \times \frac{5}{13} + \frac{3}{7} \times \frac{8}{13} + 5 \frac{4}{7} \), ta thực hiện từng phần như sau:

1. **Tính \( \frac{3}{7} \times \frac{5}{13} \)**:
\[
\frac{3 \times 5}{7 \times 13} = \frac{15}{91}
\]

2. **Tính \( \frac{3}{7} \times \frac{8}{13} \)**:
\[
\frac{3 \times 8}{7 \times 13} = \frac{24}{91}
\]

3. **Kết hợp hai kết quả trên**:
\[
\frac{15}{91} + \frac{24}{91} = \frac{39}{91}
\]

4. **Chuyển \( 5 \frac{4}{7} \) thành phân số**:
\[
5 \frac{4}{7} = \frac{35 + 4}{7} = \frac{39}{7}
\]

5. **Tìm cùng mẫu** để cộng \( \frac{39}{91} \) và \( \frac{39}{7} \). Mẫu số chung là 91:
\[
\frac{39}{7} = \frac{39 \times 13}{7 \times 13} = \frac{507}{91}
\]

6. **Cộng hai phân số**:
\[
\frac{39}{91} + \frac{507}{91} = \frac{546}{91}
\]

7. **Rút gọn (nếu có)**:
\[
546 ÷ 91 = 6 (vì 546 = 6 \times 91)
\]

Vậy kết quả cuối cùng của phép tính là **6**.